カオス理論の簡単な紹介

世界のすべてには、独自の原因と結果があります。 おそらく、この考えが私を世界のすべてが相互に関連しているという認識に導いた。 すべての理由があります。 偶然でも、目標に向かって動きがあります。



ランダムに見えるイベントは、特定のシーケンスで発生します。

「混乱の中でも、秩序があります。」

カオスとは何ですか？ カオス理論という名前は、理論で説明されたシステムがバラバラになっているという事実に由来しますが、カオス理論は実際には一見ランダムなデータの隠れた順序を見つけることにあります。



カオスはいつ発見されましたか？ 最初の真のカオス実験者は気象学者のエドワード・ローレンスでした。 1960年、彼は天気予報の問題に取り組みました。 彼は天気をシミュレートする1​​2個の方程式のセットをコンピューターにインストールしました（大気中の空気の流れを意味します） [ここでの説明]。 彼ら自身は天気を予測しませんでした。 しかし、それがそうであっても、コンピュータープログラムは理論的には天気がどうなるかを予測しました。



1961年に、彼[エドワードローレンス]は再び特別なシーケンスを見たいと思いました。 時間を節約するために、彼は最初にやるのではなく、シーケンスの途中から始めました。 彼はプリントアウトから数字を入力し、プログラムを実行しました...



彼が1時間後に戻ったとき、パターンは異なって解決されました。 以前と同じモデルの代わりに、元のモデルとは異なり、最後に非常に大きく逸脱したモデルがありました（図1を参照）。 最後に、彼は何が起こったかを知りました。 コンピューターは、メモリに小数点以下6桁を配置しました。 紙を節約するために、彼は小数点以下3桁のみを導入しました。 元の順序には番号0.0506127があり、彼は0.506だけを印刷しました。







図1-ローレンスの実験：これらの曲線の最初の違いはわずか0.000127です（Ian Stewart、「Does Play God God？」、Chaos Mathematics、 p。141 ）



当時の常識では、これはうまくいくはずでした。 彼はオリジナルに非常に近い注文を取得することになっていた。 科学者は、小数点以下3桁まで正確な測定値を受け取ったので、自分自身を幸運だと考えることができました。 もちろん、合理的な方法を使用して4桁目と5桁目を測定することは不可能であり、これは実験の結果に影響を与えることはできませんでした。 ローレンスはこの考えが間違っていることを発見した。 この効果は、バタフライ効果として知られています。 2つの曲線の開始点の差は非常に小さいため、[実生活で]蝶の羽ばたきに匹敵します。



今日、1匹の蝶の羽の動きは、大気の状態にわずかな変化をもたらします。 時間が経つにつれて、雰囲気はそれができるものとは異なります。 したがって、1か月後、インドネシアに降りかかる可能性のある竜巻は現れません。 または、彼が現れなかった場合、彼は現れます。 （イアン・スチュワート、「神はサイコロをプレイしますか？」、カオスの数学、p。141）。



一般にカオス理論と呼ばれるこの現象は、初期条件への敏感な依存としても知られています。 初期条件をわずかに変更するだけで、長期間にわたってシステムの動作を劇的に変更できます。 このような測定値のわずかな違いは、実験でノイズ、バックグラウンドノイズ、または機器の誤動作が原因で発生する可能性があります。 これらのことは、最も隔離された研究所であっても避けられません。



番号2から始めて、最終的には、2.000001の初期数値を持つ同じシステムの結果とはまったく異なる結果を得ることができます。 このレベルの精度を達成するのは不可能です-100万分の1インチ単位で測定するだけです！この考えに基づいて、ローレンスは天気を正確に予測することは不可能であると判断しました。 それはともかく、この発見はローレンスを後にカオス理論として知られるようになった他の側面に導いた。



ローレンスは、初期条件の違いに敏感な最も単純なシステムを観察し始めました。 彼の最初の発見には12の方程式があり、非常に単純化したかったのですが、この属性[初期条件の違いに対する感度]が必要でした。 彼は対流方程式を取り、信じられないほど簡単にしました。 このシステムは対流とは関係がなくなりましたが、初期条件の違いに敏感であり、今回は3つの方程式のみが残っていました。 後で、これらの方程式が渦を表すことがわかりました。



表面では、水が着実に一種のホイールリムを形成しています。 各「リム」は小さな穴から発散します。水の流れが低速の場合、「リム」は渦を形成するほど速くなりません。 回転が続く場合があります。 または、流れが非常に速く、重い「リム」が底と表面の周りを常に回転する場合、渦は減速して停止し、回転方向を変更して、最初に一方の方向に、次に他方の方向に回転できます。 （James Gleick、カオス理論、p.29）



また、このシステムの方程式は、一般的な動作のランダム性を示しているように見えましたが、グラフが作成されたとき、彼は驚いた[ローレンス]。 出力パラメーターは常に曲線上に残り、二重らせんを形成しました。 これ以前は、変数が決して変化しない定常状態と、システムが周期的で無期限に繰り返される周期状態の2種類の順序のみが知られていました。 ローレンスの方程式は間違いなく整理されていました。それらは常にらせん状に続きました。 一時停止することはありませんが、同じ状態を繰り返すことはありません。つまり、周期的ではありません。 彼は、結果の方程式をローレンスアトラクターと呼びました（図2を参照）。









図2-ローレンスアトラクター



1963年、ローレンスは彼の発見を説明する記事を発表しました。 彼は天気の予測不能性に関する記事を含め、このタイプの行動を引き起こすすべてのタイプの方程式について議論しました。 残念なことに、彼は物理学者や数学者ではなく気象学者であったため、彼の論文を出版できる唯一のジャーナルは気象ジャーナルでした。 その結果、ローレンスの発見は、他の人々によって再び発見されるまで知られていませんでした。 ローレンスは革命的な何かを発見し、誰かがそれを開くのを待っていました。



初期条件の違いに敏感な別のシステムは、コインの反転です。 コインを投げるには2つの変数があります。どれくらい早く落ちるか、どれだけ速く回転するかです。 理論的には、これら2つの変数を完全に制御し、コインの落下を制御することが可能です。 実際には、コインの回転速度と飛行量を正確に制御することは不可能です。 これらの変数を特定の範囲に配置することしかできませんが、結果を知るために十分に制御することは不可能です。



同様の問題が生態学と生物個体群の予測で発生します。 人口が確実に増えれば方程式は単純ですが、捕食者と限られた食物はこの方程式を不正確にします。 最も簡単な方程式は次のとおりです。



来年の人口= r *今年の人口*（1-今年の人口）[来年の人口は来年の人口、今年の人口は今年の人口]



この方程式では、母集団は1から0の間の数で表されます。1は最大母集団を表し、0は絶滅を表します。 Rは成長の指標です。 問題は、このパラメーターが母集団にどのように影響するかでした。 明らかな答えは、人口増加率が高いということは高いレベルを設定することを意味し、低い場合は人口が減少することを意味します。 この条件は一部の成長指標に当てはまりますが、すべての指標には当てはまりません。



生物学者のロバートメイは、成長率を上げると、方程式に何が起こるか調べることにしました。 低い値では、人口は特定の値で確立されました。 2.7に等しいインジケーターの場合、0.6292に設定されました。 さらに、人口増加率「R」の増加に伴い、総人口も増加しました。 しかし、その後、奇妙なことが起こりました。



インジケータが3を超えるとすぐに、ラインは2つに分割されました。 特定の位置に設定する代わりに、彼女は2つの異なる値の間を「ジャンプ」しました。 それは1年で1つの意味を持ち、次の年では完全に異なっていました。 そして、このサイクルは絶えず繰り返されました。 成長率の増加により、2つの異なる値の間でジャンプが発生しました。



パラメータがさらに増加するとすぐに、ラインは再び分岐（分岐）します。 分岐はますます速く発生し、突然カオスになりました。 正確な成長率を設定することにより、方程式の動作を予測することは不可能です。 よく調べてみると、白い縞が見えます。 これらのストリップを詳しく見ると、線が再び混chaosの状態に戻る前に分岐点を通過する一連の小さなウィンドウが見つかります。 この自分に似ているのは、グラフィックが奥深くに隠された自分自身のレプリカであるという事実であり、これはカオスの非常に重要な側面となっています（図3）。









図3-分岐



IBMの従業員であるBenoit Mandelbrotは、この自己相似性を研究した数学者でした。 彼が研究した分野の1つは、綿の価格の変動でした。 綿の価格データがどのように分析されたとしても、結果は正規分布しませんでした。 マンデルブロは、最終的に綿の価格に関する入手可能なデータをすべて1900年まで受け取りました。 コンピューターを使用してデータを分析したとき、彼は驚くべき事実に気付きました。通常の売り上げという点では、規模の観点から対称的でした。 個々の価格はランダムに予測不能に変化しました。 しかし、変化の計算は規模に依存していませんでした。毎日と毎月の価格変動の曲線は完全に一致していました。 驚くべきことに、マンデルブロの価格の変化は、60年代、第二次世界大戦、および不況の騒がしい期間を通じて一定のままでした。 （James Gleick、Chaos-Making a New Science、p.86）



マンデルブロは綿の価格だけでなく、他の現象も分析しました。 それらの1つは、海岸線の長さでした。 海岸の地図は多くの湾を示しています。 ただし、海岸線の長さを計算するときに、地図上に表示するには小さすぎる小さな湾は見逃される可能性があります。 これは、海岸に沿って歩くときに、砂粒間の微視的な隙間を見逃す方法に似ています。 海岸線がいくら増えても、近づくと目に見える隙間が多くなります。



1人の数学者であるHelge von Kochは、この考えをKoch曲線と呼ばれる数学的構成に取り入れました。 コッホ曲線を作成するには、正三角形を想像してください。 各辺の中央に向かって均等な正三角形を描画し、各辺の中点に新しい三角形を追加し続けると、結果としてコッホ曲線が得られます（図4を参照）。



おおよそのコッホ曲線は、元の曲線とまったく同じです。 これは、自己相似性の別の例です。











コッホ曲線には興味深いパラドックスが含まれています。 別の三角形が追加されるたびに、線の長さが長くなります。 しかし、コッホ曲線の内部領域[制限]は常に、最初の三角形の周りの外接円の領域よりも小さいままです。 つまり、制限された領域に囲まれた無制限の長さの線です。



これを理解するために、数学者はフラクタルの概念を使用しました。 フラクタルは分数という言葉に由来します。 コッホ曲線のフラクタル断片化は約1.26です。 フラクタルフラグメンテーションは発明できませんが、理にかなっています。 コッホ曲線は、単一の断片化を持つ滑らかな曲線よりも粗いです。 それはより粗く、より多くの「しわ」があるため、スペースをより効率的に占有します。 それがそうであるかもしれない、それはそれが面積を持たないので、それが２つの押しつぶしで正方形と同じくらいスペースを埋めることによくない。 これは、コッホ曲線のつぶれが2未満であることを意味します。



フラクタルとは、それ自体に類似性がある画像を指します。 母集団方程式の分岐図はフラクタルです。 ローレンスアトラクタはフラクタルであり、コッホ曲線もフラクタルです。



現時点では、科学者はカオスに関する作品を出版するのが難しいと感じました。 彼らはまだ現実世界に対する彼の態度を示していないので。 ほとんどの科学者は、カオスの実験結果が重要であるとは考えていませんでした。 結果として、カオスは数学的現象であるにもかかわらず、カオスでの研究のほとんどは、気象学や生態学などの他の分野の専門家である人々によって行われました。 カオスの広がりを研究することは、それに対して何をすべきかという問題に取り組む科学者にとって趣味でした。



後に、フィゲンバウムという名前の科学者が再び分岐図を調べ、分岐の発生率を調べました。 彼はそれが一定の割合で来ることを発見しました。 彼はこの数が4.669であると計算しました。 言い換えれば、彼は分岐曲線が自己相似性の特性を獲得する正確なスケールを決定しました。



4.669倍に削減された図は、後続の分岐領域のように見えます。 彼は他の方程式を調べて、それらに同様にスケール係数を適用できるかどうかを確認することにしました。 驚いたことに、倍率は同じであることが判明しました。 規則性を記述する複雑な方程式だけでなく、規則性は単純な方程式とまったく同じであり、彼は多くの関数をテストし、4.669のスケーリング係数を与えました。



これは革命的な発見でした。 彼は、まったく同じように、予測どおりに動作する数学関数のクラス全体を発見しました。 汎用性は、多くの科学者がカオスの方程式を簡単に分析するのに役立ちました。 彼女は、カオスシステムを分析するための最初のツールを科学者に提供しました。 単純な方程式を使用して、より複雑な方程式の結果を取得できるようになりました。



多くの科学者は、フラクタル方程式を作成する方程式を発見しました。 最も有名なフラクタル画像は最も単純です。 マンデルブロ方程式として知られています。 方程式は単純です：z = z ² + c。 方程式がそのようなものであるかどうかを確認するには、複素数zを取ります。 その正方形を取得し、番号を追加します。 結果を正方形に入力し、数値を追加します。 さらに繰り返し、数が無限に向かう場合、これはマンデルブロ方程式ではありません。



フラクタル構造は、実世界の多くの領域で見られています。 血液はさらに枝分かれした血管を介して広がり、木の枝、肺の構造、株式販売データチャート、およびその他の現実のシステムには共通点があります。それらはすべて自己相似性（自己反復）を持っています。



サンタクルーズ大学の科学者は、蛇口での混[の兆候を発見しました。 蛇口から落ちる水滴と時間を記録することで、彼らは正確な流量を発見しました；水滴は同時に落ちませんでした。 データをプロットしたところ、実際に滴が特定のパターンで落ちることがわかりました。



人間の心臓も混chaとしたパターンで鼓動します。 ストローク間の時間は可変であり、それはその人が現在どれだけ活発であるか、および他の多くのものに依存します。 一定の条件下では、ハートビートはさらに加速できます。 さまざまな条件下で、心臓は制御不能に鼓動します。 これは混chaとしたハートビートと呼ばれます。 ハートビートテストは、医学研究が制御不能なランダム性ではなく、特定のフレームワーク内でハートビートを設定する方法を見つけるのに役立ちます。



カオスは科学にも応用されています。 カオスとフラクタルにより、コンピューター画像はよりリアルになります。 これで、単純な式を使用して、コンピューター上に美しくリアルなツリーを作成できます。 通常のパターンに従う代わりに、正確にではなくほぼ繰り返される数式を使用してツリーブランチを作成できます。



また、フラクタルを使用して、音楽を作成できます。 Lawrenceアトラクターを使用して、マサチューセッツ工科大学の電子工学の卒業生であるDiana S. Debbieが音楽テーマを作成しました。 （カオスへのバッハ：古典的なテーマのカオス的変化、科学ニュース、1994年12月24日） 。 Cのバッハプレリュードの音楽の音符を、コンピューターでプログラムを起動したローレンスアトラクタのx座標に関連付けることにより、彼女はこの作品のテーマのバリエーションを作成しました。 これらの新しい音を聞いたほとんどのミュージシャンは、バリエーションが非常に音楽的で創造的だと言いました。



UPD： ixsideに感謝します 。 「古典的なテーマのカオス的変化」は こちらから入手できます。修正：ポピュラーサイエンスに移動しました。