はじめに

この記事では、任意の整数次数nの任意の多項式を有限差分の形で表現する可能性を検討します。 この記事のアプローチは既存のアプローチとは異なり、すべての式は任意の係数を持つ任意の多項式について導出され、また単位間隔ではなく任意の間隔がポイント間の間隔として使用されるという点で異なります。 得られた式は普遍的であり、多項式の「将来」および「過去」の値を計算するために修正なしで使用できます。 つまり、たとえば、任意の係数を持つ2次方程式で表される曲線の場合、任意の等しい間隔φで取得されたyの3つの既知の値のみを持つすべての値を計算できます。 その結果、（n + 1）等間隔の点を介して、次数nの多項式で表される曲線を1つだけ描画できるというステートメントが導入されます。

免責事項

私は数学者ではなく、20年の経験を持つ単なるプログラマーです。 私は独立した調査を実施しましたが、この記事で行ったのと同じ結論は見つかりませんでした。 既存の開発に関するコメントや「ヒント」に感謝します。その結論は私のものに似ています（または近い）。

一般的な情報

最初に、次数nの多項式で与えられ、等しい間隔φで取得された（n + 1）以前の値で表される関数S（t）を計算するための一般式を与えます。

$$

$$S（t）= \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1}（-1）^ {k-1} C_ {n + 1} ^ kS（t-k \ varphi）$$

つまり、たとえば、次数n = 1（正則線）の多項式の場合、この式は次のようになります。

$$

$$S（t）= 2S（t- \ varphi）-S（t-2 \ varphi）$$

次数n = 2の多項式の場合、そのような式は次の形式になります。

$$

$$S（t）= 3S（t- \ varphi）-3S（t-2 \ varphi）+ S（t-3 \ varphi）$$

などなど。 このドキュメントで詳細な数学的証拠を与えます 。 JavaScriptコードの形式で実行される検証コードも準備しました。 このリンクから入手できます。 同じ記事で、得られた方程式を使用するための実用的な結論とオプションをいくつか示します。

次数2の多項式の構築

一般的な理解のために、「次数2の多項式」は次の式を使用して表されます。

$$

$$S（t）= Q_2 t ^ 2 + Q_1 t + Q_0$$

しかし、判明したように、式「有限差分」を使用して、この多項式のすべての値を計算できます（実際、任意のステップφを持つノードでのみ多項式の値を計算できます）。

$$

$$S（t）= 3S（t- \ varphi）-3S（t-2 \ varphi）+ S（t-3 \ varphi）$$

つまり、等しい任意の間隔φで取得された関数S（t）の3つの値に基づいて、すべての多項式値を取得できます。 これを実際のデータで示します。 実多項式は次の関数で表されます。

$$

$$R（t）= 1t ^ 2 + 2t + 3$$

ここで、ポイントt = 111、t = 115、およびt = 119で関数R（t）の値を計算します。 つまり、この場合のステップφは4です。得られる値は、R（111）= 12546、R（115）= 13458、R（119）= 14402です。 ここで、有限差分の方程式を使用して、多項式の次の2つの値を計算します。

$$

$$R（123）= 3R（119）-3R（115）+ R（111）= $ 15,37$$

$$

$$R（127）= 3R（123）-3R（119）+ R（115）= 16386$$

有限差分の式を使用して計算された値が、2次の多項式の「標準」式を使用して計算された値と完全に一致することは簡単に計算できます。



また、有限差分の式を使用すると、式自体を変更せずに「逆方向」に値を計算できます。 たとえば、R（107）とR（103）を計算するには、次を取得します。

$$

$$R（107）= 3R（111）-3R（115）+ R（119）= 11666$$

$$

$$R（103）= 3R（107）-3R（111）+ R（115）= 10818$$

繰り返しますが、有限差分の式を使用して得られた値が、2次の多項式の「標準」式を使用して計算された値と完全に一致することは簡単に計算できます。



その後のすべての学位について、結果は同様になります。 99次までの多項式を検証しました。「標準」式を使用して得られた結果は、有限差分を使用して得られた結果と完全に一致します。

加算

また、次数nの多項式を構築するために、正確に（n + 1）等間隔の点を持つ必要はないことに注意してください-任意にそれ以上にすることができます（（m + 1）と表記）。 ただし、この場合、次数mの多項式の式を使用する必要があります。 これは、次の例で説明できます。

$$

$$Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0 = 0x ^ 4 + 0x ^ 3 + Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0$$

つまり、2次の多項式の場合、4次および3次の多項式の式を使用できます。結果は依然として正しいです。

結論

有限差分の数式を使用すると、整数次数の関数の多項式を計算（および数式として表現）できます。 有限差分の方程式では、どの係数が多項式の次数に使用されたかは関係ありません。 有限差分の方程式では、どの間隔で初期点が取られたかは関係ありません。間隔は任意に小さくても、任意に大きくてもかまいません。 有限差分の計算は、「標準」の式を使用した計算と比較して、潜在的に高い精度を持ちます（べき関数がないため）。 有限差分の多項式の関数は、べき関数なしで表され、その結果、特定の変数に対して1つの値のみを持つことができます。 そして、したがって、（n + 1）等間隔の点を通して、次数nの多項式で表される1つだけの曲線を描くことができます。