こんにちは、Habr！

量子コンピューティングの非標準アプリケーションに関する一連の記事を続けることにしました。カットの下で、2人のプレーヤーのためのゲームについてお話します。これは、量子力学の原理を研究した後に最もよくプレイされます。

「世界には特別なものは何もありません。魔法はありません。物理学のみ。」（チャック・パラニューク）

読む前に

材料を完全に理解するには、量子情報学の基本用語である量子ビット、量子ビットの測定、エンタングルメントの知識が必要です。このすべてについては[1]で読むことができ、そこで簡単な理論が説明され、各トピックの一連のタスクが示されています。

ゲームの説明

ジョン・クラウザー、マイケル・ホーン、アブナー・シモニー、リチャード・ホルトは、ベルの不等式に対する代替アプローチを開発し、それをCHSHゲームと呼ぶ単純なゲームとして提示しました。結論は非常に簡単です。私たちの2人の標準プレーヤー（アリスとボブ）は、次のルールでプレーします。

裁判官は2つのランダムビットを生成します $x$ そして $y$ （入力ビットと呼びましょう）。その後、少し送信します $x$ アリス、少し $y$ -ボブ。
アリスとボブは、受信したビットを見て（各プレイヤーは自分のビットだけを見る）、ジャッジに1ビットで再び答えます。次の表記法を紹介します。 $a$ -アリスの出力ビット、 $b$ ボブの出力ビットです。
アリスとボブのビットに基づいた裁判官は、評決を下します-プレーヤーの勝利または敗北。勝利条件は次のとおりです。 $x \ cdot y = a \ oplus b$ どこで $x \ cdot y$ -論理的な「および」 $a \ oplus b$ -操作「XOR」。

PS。裁判官は100％正直であると考えています。

条件からわかるように、ゲームは協力的です。アリスとボブの目標は、勝利の最大の確率を提供する戦略を開発することです。ただし、彼らはゲームの前にのみ計画を話し合うことができ、ゲーム中はコミュニケーションが禁止されています。

古典的な戦略

まず、ゲームの古典的な戦略と、それがもたらすメリットを検討します。ここではすべてが簡単です：関数

x c d o t y

$x \ cdot y$ ケースの75％でゼロである場合、裁判官にビットを送信することが最も収益性の高い戦略です。

a = 0

$a = 0$ 、

b = 0

$b = 0$ 。したがって、勝つ確率は

P_{ク ラ シ ッ ク} = f r a c 34

$P_ {クラシック} = \ frac {3} {4}$

量子戦略

量子戦略を適用する可能性は、量子力学的現象のレベルでのプレーヤー間の特定の接続の存在によって説明されます。この接続Gilles Brassardは、 疑似テレパシーと呼ばれる彼の作品の1つ[2]で、プレイヤー間で共有されるもつれた量子状態を使用して考慮することを提案しました。

それでは、それをやってみましょう：2量子ビットのもつれ状態を取ります

| p s i_{A B} r a n g l e = f r a c 1 s q r t 2 （ | 00 r a n g l e + | 11 r a n g l e ）

$| \ psi_ {AB} \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}}（| 00 \ rangle + | 11 \ rangle）$ 。このペアの最初のキュービットをアリスに、2番目のキュービットをボブに渡します。次に、使用方法を理解します。

入力ビットを受信した後、アリスとボブは、絡み合った状態の半分を測定する基準を選択します。この根拠を

| n u_{0} （ t h e t a ） r a n g l e = c o s t h e t a | 0 r a n g l e + s i n t h e t a | 1 r a n g l e | n u_{1} （ t h e t a ） r a n g l e = s i n t h e t a | 0 r a n g l e - c o s \シ ー タ | 1 \ラ ン グ ル

どこで

\シ ー タ

$\シータ$ -任意の角度。この基準が正規直交であることを確認するのは簡単です。アリスに角度を使って測定させます

a l p h a_{0}

$\ alpha_0$ 入力ビットを受信した場合

x = 0

$x = 0$ と角度

a l p h a_{1}

$\ alpha_1$ 入力ビットの場合

x = 1

$x = 1$ 。同様に、ボブは角度を使用します

b e t a_{0}

$\ beta_0$ そして

b e t a_{1}

$\ beta_1$ 入力ビットを受信した場合

y = 0

$y = 0$ そして

y = 1

$y = 1$ それに応じて。測定により、各プレーヤーの出力ビットが決まります。測定中に条件を受け取った場合

| n u_{0} （ t h e t a ） r a n g l e

$| \ nu_0（\ theta）\ rangle$ 、彼は裁判官ゼロを送り、彼が受け取った場合

| n u_{1} （ t h e t a ） r a n g l e

$| \ nu_1（\ theta）\ rangle$ その後、ユニットを送信します。つまり、量子力学がゲームの戦略を決定します！

次に、入力ビットのあらゆる種類の組み合わせを検証します。

$x = 0$ 、 $y = 0$

アリスとボブが答えれば勝つ $a = 0$ 、 $b = 0$ または $a = 1$ 、 $b = 1$ 。この場合、勝つ確率は

$P （ x = 0 、 y = 0 ） = | l a n g l e n u_{0} （ a l p h a_{0} ）、 n u_{0} （ b e t a_{0} ） | p s i_{A B} r a n g l e |^{2} + | l a n g l e n u_{1} （ a l p h a_{0} ）、 n u_{1} （ b e t a_{0} ） | p s i_{A B} \ラングル |^{2}$
$P（x = 0、y = 0）= | \ langle \ nu_0（\ alpha_0）、\ nu_0（\ beta_0）| \ psi_ {AB} \ rangle | ^ 2 + | \ langle \ nu_1（\ alpha_0）、 \ nu_1（\ beta_0）| \ psi_ {AB} \ラングル| ^ 2$

単純ではあるがかなり退屈な計算により、

$P （ x = 0 、 y = 0 ） = c o s^{2} （ a l p h a_{0} - b e t a_{0} ）$
$P（x = 0、y = 0）= \ cos ^ 2（\ alpha_0- \ beta_0）$
$x = 0$ 、 $y = 1$

アリスとボブが答えれば勝つ $a = 0$ 、 $b = 0$ または $a = 1$ 、 $b = 1$ 。これの確率

$P （ x = 0 、 y = 1 ） = | l a n g l e n u_{0} （ a l p h a_{0} ）、 n u_{0} （ b e t a_{1} ） | p s i_{A B} r a n g l e |^{2} + | l a n g l e n u_{1} （ a l p h a_{0} ） n u_{1} （ b e t a_{1} ） | p s i_{A B} r a n g l e |^{2} = c o s^{2} （ a l p h a_{0} - b e t a_{1} ）$
$P（x = 0、y = 1）= | \ langle \ nu_0（\ alpha_0）、\ nu_0（\ beta_1）| \ psi_ {AB} \ rangle | ^ 2 + | \ langle \ nu_1（\ alpha_0） \ nu_1（\ beta_1）| \ psi_ {AB} \ rangle | ^ 2 = \ cos ^ 2（\ alpha_0- \ beta_1）$
$x = 1$ 、 $y = 0$

アリスとボブは再び答えれば勝ちます $a = 0$ 、 $b = 0$ または $a = 1$ 、 $b = 1$ 。これの確率

$P （ x = 1 、 y = 0 ） = | l a n g l e n u_{0} （ a l p h a_{1} ）、 n u_{0} （ b e t a_{0} ） | p s i_{A B} r a n g l e |^{2} + | l a n g l e n u_{1} （ a l p h a_{1} ） n u_{1} （ b e t a_{0} ） | p s i_{A B} r a n g l e |^{2} = c o s^{2} （ a l p h a_{1} - b e t a_{0} ）$
$P（x = 1、y = 0）= | \ langle \ nu_0（\ alpha_1）、\ nu_0（\ beta_0）| \ psi_ {AB} \ rangle | ^ 2 + | \ langle \ nu_1（\ alpha_1） \ nu_1（\ beta_0）| \ psi_ {AB} \ rangle | ^ 2 = \ cos ^ 2（\ alpha_1- \ beta_0）$
$x = 1$ 、 $y = 1$

アリスとボブが答えれば勝つ $a = 0$ 、 $b = 1$ または $a = 1$ 、 $b = 0$ 。これの確率

$P （ x = 1 、 y = 1 ） = | l a n g l e n u_{0} （ a l p h a_{1} ）、 n u_{1} （ b e t a_{1} ） | p s i_{A B} r a n g l e |^{2} + | l a n g l e n u_{1} （ a l p h a_{1} ）、 n u_{0} （ b e t a_{1} ） | p s i_{A B} r a n g l e |^{2} = s i n^{2} （ a l p h a_{1} - b e t a_{1} ）$
$P（x = 1、y = 1）= | \ langle \ nu_0（\ alpha_1）、\ nu_1（\ beta_1）| \ psi_ {AB} \ rangle | ^ 2 + | \ langle \ nu_1（\ alpha_1）、 \ nu_0（\ beta_1）| \ psi_ {AB} \ rangle | ^ 2 = \ sin ^ 2（\ alpha_1- \ beta_1）$

入力ビットの値も同様に確率が高いため、量子戦略を使用した場合に成功を決定する全体的な確率は次の式で与えられます。

P_{Q u a n t u m} = f r a c 14 [P （ x = 0 、 y = 0 ） + P （ x = 0 、 y = 1 ） + P （ x = 1 、 y = 0 ） + P （ x = 1 、 y = 1 ）]

$P_ {Quantum} = \ frac {1} {4} [P（x = 0、y = 0）+ P（x = 0、y = 1）+ P（x = 1、y = 0）+ P（ x = 1、y = 1）]$

または

P_{Q u a n t u m} = f r a c 14 [c o s^{2} （ a l p h a_{0} - b e t a_{0} ） + c o s^{2} （ a l p h a_{0} - b e t a_{1} ） + c o s^{2} （ a l p h a_{1} - b e t a_{0} ） + s i n^{2} （ a l p h a_{1} - b e t a_{1} ）]

$P_ {Quantum} = \ frac {1} {4} [\ cos ^ 2（\ alpha_0- \ beta_0）+ \ cos ^ 2（\ alpha_0- \ beta_1）+ \ cos ^ 2（\ alpha_1- \ beta_0） + \ sin ^ 2（\ alpha_1- \ beta_1）]$

測定ベースの角度に制限を課していないため、次の値を選択します。

a l p h a_{0} = 0

$\ alpha_0 = 0$ 、

a l p h a_{1} = f r a c p i 4

$\ alpha_1 = \ frac {\ pi} {4}$ 、

b e t a_{0} = f r a c p i 8

$\ beta_0 = \ frac {\ pi} {8}$ そして

b e t a_{1} = - f r a c p i 8

$\ beta_1 =-\ frac {\ pi} {8}$ 。次に、かなり予期しない確率値を取得します

P_{Q u a n t u m} = f r a c 12 + f r a c 1 2 s q r t 2 \約 0.854

$P_ {Quantum} = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2 \ sqrt {2}} \約0.854$

まあ、または関数を最適化する問題を解決することで同じ結果を得ることができます

P_{Q u a n t u m}

$P_ {Quantum}$ 適切な方法で。

たとえば、この問題を解決する最小限のPythonプログラムをリストします。

from scipy.optimize import minimize from math import sin, cos, pi f = lambda x: -(cos(x[0] - x[2])**2 + cos(x[0] - x[3])**2 + cos(x[1] - x[2])**2 + sin(x[1] - x[3])**2) / 4 res = minimize(f, [pi] * 4, method='Nelder-Mead') print("Max value =", abs(f(res.x)))

そして実行の結果：

 Max value = 0.8535533904794891

つまり、私たちはそれを得た

P_{Q u a n t u m} > P_{C l a s s i c}

$P_ {Quantum}> P_ {Classic}$ 。したがって、量子戦略を使用して、アリスとボブは勝つ可能性を高めます。

結論

量子を学び、勝ちましょう！

文学

[1] B.-H. スティブ、J。ハーディ、量子コンピューティングおよび量子情報理論におけるタスクとそのソリューション、エド。規則的で混oticとしたダイナミクス、2007年。

[2] Gilles Brassard、Anne Broadbent、Alain Tapp Quantum Pseudo-telepathy、Foundations of Physics、Vol。 35、第11号、2005年。

勝利の芸術または量子擬似テレパシーとは

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ゲームの説明

古典的な戦略

量子戦略

結論

文学

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