Godfried Toussaintによる記事の翻訳ユークリッドアルゴリズムは、伝統的な音楽のリズムを生成します。

翻訳者から

Sonic Piには、2つの数値パラメーターを取り、一連の値を返してリズムを生成するスプレッド関数があります。 この機能の説明には、「ユークリッドアルゴリズムが伝統的な音楽のリズムを生成する」という作品へのリンクがあります。 2005年に既に公開されたこの素晴らしい記事は、ロシア語に翻訳されたことがないようです。 しかし、私は翻訳の専門家ではないため、このギャップを埋めようとしました。

「ネックレス」という言葉についてのちょっとした説明：「ネックレス」という記事の本文では、音楽理論ではそのような用語はありません。 私はこれが著者の視覚的な直観の一種であると信じています。実際、リズミカルなリングは、それが図面に示されている形で、ネックレスに似ています-だから翻訳します。

アブストラクト

ユークリッドアルゴリズム（ ユークリッドの " Beginnings "から生まれた）は、2つの整数の最大公約数を計算します。 この研究は、ユークリッドアルゴリズムの構造を使用して、特に熱帯アフリカの音楽および一般的な伝統音楽で、拍動（ ostinato ）として使用されるリズムの大きなファミリーを非常に効率的に生成できることを示しています。 ここではユークリッドリズムと呼ばれるこれらのリズムには、パーカッションパターンが可能な限り均等に分布しているという特性があります。 ユークリッドリズムは、原子物理学とコンピューターサイエンスのアクセラレータにも応用されており、 ユークリッドリズムが比較されるユークリッドストリングなど、単語の組み合わせによって研究されるいくつかの単語ファミリとシーケンスに密接に関連しています。

1.はじめに

アフリカのリズム、核分裂中性子加速器（S N S-核破砕中性子源）は、原子物理学、コンピューターサイエンスの弦理論、ユークリッドによって記述された古代のアルゴリズムに共通するものは何ですか？ 簡単な答えは次のとおりです。パターンは可能な限り均等に分散されます。 より長い回答を得るには、先に進んでください。



数学と音楽はピタゴラスの時代と密接に関係しています。 ただし、ほとんどの場合、それらの相互作用はトーンとスケールの領域で行われました。 このような相互作用の歴史的な例については、読者にコクセターの優れたレポートを参照してください[9]。 一方、歴史を通してのリズムはほとんど無視されてきました。 この作品では、音楽のリズムと原子物理学やコンピューターサイエンスなどの他の知識分野との数学的なつながりを確立します。また、古代ギリシアの有名な数学者、ユークリッドオブアレクサンドリアの作品との接続を確立します。

2.中性子加速器の時間システム

Björklundは、原子物理学で使用される核分裂中性子加速器（SNS）の一部のコンポーネント（高電圧電源など）の動作に関連して、次の問題[5]、[4]を考慮します。 時間は間隔に分割されます（SNSアクセラレータの場合、10秒）。 これらの間隔のいくつかでは、時間システムにシャッターが含まれ、このタスクを実行するためのパルスを生成します。 時間間隔の指定された数nおよび別の数k < n-パルスの数に対して、タスクはこれらの間隔でパルスをできるだけ均等に分散することです。 Björklund[5]は、このタスクをkユニットとn - kゼロのバイナリシーケンスの形式で提示します。各数字は時間間隔を表し、ユニットはインパルスを表します。 次に、タスクは次のようになります。ユニットがゼロに均等に分散されるように、 kユニットでnビットのバイナリシーケンスを構築します。 kがnで（余りなく）完全に割り切れる場合、解は明らかです。 たとえば、 n = 16およびk = 4の場合、解は[1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]です。 この問題は、 kとnが互いに素である場合[23]、つまりkとnが1以外の共通因子を持たない場合に興味深いです。



例の1つを使用して、Björklundアルゴリズムについて説明します。 n = 13およびk = 5のシーケンスを考えてみましょう。13は5 = 8であるため、5ユニットのシーケンスに続いて8個のゼロが続きます。これは、1ビットの13シーケンスとして表すこともできます。



[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]



各ユニットの後にゼロを配置してゼロを移動し始め、2ビットの5つのシーケンスと、さらに3つのゼロを取得します。



[10] [10] [10] [10] [10] [0] [0] [0]



次に、残りの3つのゼロを同じ方法で分配し、各シーケンス[10]の後に[0]を配置すると、次のようになります。



[100] [100] [100] [10] [10]



これで、それぞれ3ビットの3つのシーケンスがあり、2ビットの2つのシーケンスが残ります。 したがって、同じ方法で続け、各シーケンス[100]の後にシーケンス[10]を配置し、以下を取得します。



[10010] [10010] [100]



残りにシーケンスが1つ（この場合はシーケンス[100]）しか含まれていない場合、またはゼロで終了した場合、プロセスは終了します。 したがって、最終的なシーケンスは[10010]、[10010]、および[100]の連結です。



[1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0]



別の手順を実行して、[10010]と[10010]の間に[100]を挿入できることに注意してください。 しかし、ビョルクルンドは、シーケンスが周期的であるため、それは重要ではないと主張します（したがって、彼の停止規則）。 Björklund[5]は、最悪の場合にO（n）算術演算を使用して元のシーケンスから最終シーケンスを構築できることを証明しました。

3.ユークリッドアルゴリズム

今日のユークリッドアルゴリズムと呼ばれるブックVIIの命題2のユークリッド（紀元前300年）の「 始まり 」で説明されている最も古い既知のアルゴリズムの1つは、2つの与えられた整数の最大公約数を見つけます[12]、 [14]。 アイデアはとてもシンプルです。 小さい方の数字が大きい方から順に減算され、ゼロになるか、2つの与えられた数字の小さい方よりも小さい数字が得られます。この場合、剰余と呼ばれます。 次に、この剰余は、小さい剰余から順番に再び差し引かれて、新しい剰余が取得されます。 このプロセスは、残りがゼロになるまで続きます。 より具体的にするために、上記で使用した数字5と8の例を検討してください。 最初に、8は5で剰余3で除算され、5は3で剰余2で除算されます。次に3は2で剰余1で除算されます。最後に2は2で剰余0で除算されます。したがって、最大公約数は1です。順次減算、通常の除算も機能し、さらに高速になります。 このプロセスのステップは、次の等式のシーケンスによって要約できます。



8 =（1）（5）+ 3



5 =（1）（3）+ 2



3 =（1）（2）+ 1



2 =（1）（2）+ 0



[8]で行われたように、このアルゴリズムは再帰的に簡単に説明できます。 mとkを初期値とし、 m> kとします。



EUCLID（ m、k ）



1. k = 0の場合



2. その後、 m を返します



3. そうでなければ EUCLID（ k 、 m mod k ）を返します



このアルゴリズムをm = 8およびk = 5で実行すると、次のようになります。



EUCLID（8.5）= EUCLID（5.3）= EUCLID（3.2）= EUCLID（2.1）= EUCLID（1.0）= 1



ユークリッドアルゴリズムの説明から、 mとkがそれぞれバイナリシーケンス（ n = m + k ）でゼロと1の数に等しい場合、ユークリッドアルゴリズムの構造は上記のビョークランドアルゴリズムの構造と同じであることが明らかです。 実際、Björklundアルゴリズムは、EuclidがBeginnings [12]で行ったのと同じ方法で、逐次減算の形式で除算を使用します。 EUCLID（ m、k ）アルゴリズムが2つのO（n）ビット数（長さnのバイナリシーケンス）に適用される場合、最悪の場合にO（n）算術演算が必要になることもよく知られています[8]。

4.伝統的な民族音楽のユークリッドリズム

音楽のリズムをバイナリシーケンスとして表現する一般的な方法は、各ビットを時間の単位（16分音符など）とみなし、ゼロビットは無音（またはアクセントのない音符）を表し、単一のビットは音符の攻撃（または開始）を表します[31 ]。 したがって、上記のビョークランドアルゴリズムによって生成されたバイナリシーケンスは、1つのリズムファミリと見なすことができます。 さらに、Björklundアルゴリズムはユークリッドアルゴリズムと同じ構造を持っているため、これらのリズムをユークリッドリズムと呼び、 E（k、n）として表します。ここで、 kはユニット数、 nはシーケンスの合計長（ゼロとユニット）です。 たとえば、 E （5、13）= [1001010010100]。 ゼロと1の表記は、ビートの位置とビート間の間隔の長さを視覚化するのが難しいため、バイナリリズムの表現には理想的ではありません。 音楽学の文献では、単一ビットの記号「x」と記号「一般的に使用される」。 ゼロビット用。 このより伝統的な表記法では、以前のリズムはE （5、13）= [x .. xx。 xx。]。



リズムE （5、13）は、長さ（サイズ）が13拍の周期的なリズムです。 これは、ワールドミュージックで最も一般的なサイズではありません。 対照的に、 kとnの 2つの一般的な値を考えます。 つまり、 E （3、8）とは何ですか？ ユークリッドアルゴリズムを対応するシーケンス[1 1 1 0 0 0 0 0 0]に適用すると、結果はユークリッドリズムE （3、8）= [x .. x .. x。]になることを簡単に確認できます。 このリズムは、図1（a）の多角形（三角形）で示されています。これは、周期的リズムを表す別の便利で一般的な方法[31]で、リズムは「ゼロ」として指定されたポイントで始まり、時間は時計回りに、数字は時計回りに移動すると想定されています三角形の辺は隙間の間隔を示しています。 実際、これは、ショック間の持続時間を接続する間隔ベクトルの形でのリズムのさらにコンパクトな表現です[32]。







図1：（a）ユークリッドリズムE （ 3、8 ）はキューバのトレシロ 、（b）ユークリッドリズムE （ 5、8 ）はキューバのチンキージョです。



図1（a）に示されているユークリッドリズムE （3、8）は、地球上で最も有名なものの1つです。 キューバでは、 トレシロと呼ばれ、米国では、1950年代を通じて何百ものロカビリーの歌で使用されているハバネラのリズムとして知られています。 多くの場合、初期のロックンロールヒットでキーボードの左手の数字に聞こえるか、コントラバスまたはサクソフォンの一部で演奏されます[7]、[15]、[22]。 良い例は、エルビス・プレスリーのハウンド・ ドッグのベース部分のリズムです。 トレシロの数字は 、西アフリカのフォークミュージックでも広まっています。 例えば、彼女はガーナのソフとユーエの踊りのアトックベルで演奏されます[16]。 また、[x .. x .. x ... xx。として与えられる、遍在するクラベの 息子の最初の測定でトレシロを認識することができます。 。]。



前述の2つの例（ E （5、13）およびE （3、8））では、ユニットの数はゼロの数よりも少なくなっています。 代わりに、ユニットの数がゼロの数よりも大きい場合、Björklundアルゴリズムは、たとえば、 k = 5およびn = 8の場合、次のステップを実行します。



[1 1 1 1 1 1 0 0 0]



[10] [10] [10] [1] [1]



[101] [101] [10]



[1 0 1 1 0 1 1 0]



結果のユークリッドリズムE （5、8）= [x。 x x xx。]。 このリズムは、図1（b）の多角形（五角形）を示しています。 これも世界の舞台で有名なリズムです。 キューバでは、 シンキージョとして知られており、 トレシロに内部的に関連しています [15]。 20世紀を通じてジャズで使用され[27]、1950年代のロカビリー音楽でも使用されています。 たとえば、これはエルビス・プレスリーのハウンド・ドッグの手をたたく図です[7]。 シンキージョの数字は 、西アフリカの伝統音楽にも広まっています[26]、[31]。



このセクションの残りの部分では、ワールドミュージックで最も一般的なユークリッドリズムのいくつかについて説明します。 場合によっては、ユークリッドリズムは、広く使用されているリズムの逆バージョン（回転、回転によって形成されます ）です。 リズムが他のものの反転バージョンである場合、我々は両方が同じネックレスに属していると言います。 したがって、リズムネックレスは、サイクルの開始点を考慮しない間質性持続時間のモデルです。 同じネックレスのインスタンスである2つのリズムの例を図2に示します。







図2.これらの2つのリズムは、同じリズミカルなネックレスのバリエーションです。



最も単純なリズムの値はk = 1です。このユークリッドリズムのサブファミリーは以下を提供します。



E （1、2）= [x。]



E （1、3）= [x。 。]



E （1、4）= [x ...]など



周期的で非周期的なリズムに関心があるため、係数kおよびnが使用されているリズムをリストする必要がないことに注意してください。 たとえば、（1、3）に4を掛けると、（4、12）が得られ、リズムが得られます。



E （4、12）= [x .. x .. x .. x ..]、



これは、 E （1、3）= [x。 。]。 ところで、 E （4、12）= [x .. x .. x .. x。 。]スペイン北部のフラメンコ音楽の12/8 ファンダンゴパターンです。「x」は大音量、「。」 柔らかい綿[10]。



E （2、3）= [x。 x]は一般的なアフロキューバの打楽器図です。 たとえば、 Swing Tumbaoの コンガリズム（6/8の割合）で見られます[18]。 また、 キューカ [33]などのラテンアメリカ音楽でも一般的です。



E （ 2、5 ）= [xx。] 13世紀のペルシャリズムはKhafif-e-ramalと呼ばれています [34]。 これは、チャイコフスキーの交響曲第6番 [17]の第2部の計量図でもあります。 2番目のアクセント（[x .. x。]）で始まる場合、これはGustav Holst [17]によるDave BrubeckのTake Five 、およびMars in the Planetsからのメトリック図です。



E （3、4）= [x。 xx]はコロンビアのクンビアの典型的な拍動[20]であり、トリニダードのカリプソのリズム[13]です。 これは、 ハリフ・イー・サギルと呼ばれる13世紀のペルシャのリズム[34]と、古代ギリシャのリズミカルなトロコイドの舞踏パターンです [21]。



E （3、5）= [xx x]、2番目のアクセント付きビートで始まる場合-これは、13世紀の別のペルシャのリズムで、 Khafif-e-ramal [34]と呼ばれ、ルーマニアのフォークダンスのリズム[25]です。



E （ 3、7 ）= [xxx。]-これはブルガリアの民族舞踊で使用されるルケニツァのリズムです[24]。 これは、 Money Pink Floydのメトリック描画でもあります。



E （ 3、8 ）= [x .. x .. x。]上で説明したキューバのトレシロパターンです[15]。



E （4、7）= [xxx x]-これはブルガリアの民族舞踊Ruchenitza [24]のリズムの別バージョンです。



E （ 4、9 ）= [xxxx。]はアクサックのトルコリズムです[6]。 これはまた、演劇「 ロンド・ア・ラ・ターク」 [17]でデイブ・ブルーベックが使用したメートル法の図面です。



E （ 4、11 ）= [x .. x .. x .. x。]は、フランク・ザッパが 『 Outsid e Now』 [17]と呼ばれる演劇で使用するメートル法の数値です。



E （5、6）= [x。 xxxx]は、 ヨークサマイの描画を提供します。これは、2番目のアクセント付きビートで始まるアラビア語の人気リズムです[30]。



E （5、7）= [x。 x x xx]は、別の人気のあるアラビアのリズム[30]であるNawakhatの絵です。



E （5、8）= [x。 x x xx。]は、上記のキューバのシンキージョリズムです[15]。 2番目のアクセントで始まる場合、スペイン語のタンゴ[13]と13世紀のペルシャのリズムAl-saghilal-sani [34]でもあります。



E （5.9）= [xxxx x]は、人気のあるアラビアのリズムであるAgsag-Samai [30]です。 2番目のアクセントのあるビートで始まるとき、それは南アフリカのVendaが使用するドラムパターン[26]と、ルーマニアのフォークダンスリズム[25]です。



E （5.11）= [xxxxx。]ムソルグスキーが「 展覧会の写真 」[17]で使用した計量設計です。



E （5,12）= [x .. xx。 x。 x。]は、南アフリカの子供の歌[24]からのVendaの拍手の図です。



E （5.16）= [x .. x .. x .. x .. x ....]ブラジルのボサノバのリズミカルなネックレスです。 通常、ボサノバのリズムは、次のように3番目のアクセントのあるビートから始まります。[x .. x .. x ... x .. x。 。] [31]。 ただし、[x .. x .. x .. x ... x。など、他の開始点もあります。 。] [3]。



E （7.8）= [x。 xxxxxx]はBendir （フレームドラム）で演奏される典型的なリズムで、リビアのトゥアレグの歌の伴奏として使用されます[30]。



E （7,12）= [x。 x xx x x。 x。]は、西アフリカの鐘の典型的な絵です。 たとえば、ガーナのアシャンティのMpr eのリズムで使用されます[32]。



E （7.16）= [x .. xxx。 xx x。]は、ブラジルのリズミカルなサンバネックレスです。 サンバのリズム[xx。 xxx。 x。 x。]は、最後のビートでE （7.16）を開始した場合に取得されます。 E （7.16）が5番目のアクセント付きビートで始まるとき、それはガーナからのポップのパターンです[24]。



E （9.16）= [x。 x xxx x xx x。]は中央アフリカ共和国のリズムのネックレスです[2]。 4拍目から始まるとき、これは西および中央アフリカで行われるリズム[15]と、ブラジルのサンバでのカウベルの描画[29]です。 最後から2番目のローブで始まるとき、これは中央アフリカ共和国のNgbaka-Maiboのリズムから描かれた鐘です[2]。



E （11.24）= [x .. xxxxx。 xxxx x。]は、中央アフリカの別名ピグミーのリズムのネックレスです[2]。 通常、7番目のローブから始まります。



E （13.24）= [x。 x xxxxx x xxxx x。]これは、上部サンからの別名ピグミーリズムの別のネックレスです[2]。 通常、4拍目から始まります。

5.ユークリッド弦

単語とシーケンスの組み合わせの研究では、ユークリッド文字列[11]と呼ばれる文字列のファミリーがあります。 このセクションでは、ユークリッドの弦とユークリッドのリズムの間に存在する関係を調べます。 [11]で紹介されている用語と表記法を使用します。







図3： ベンベ線の右への2つのターン：a） ベンベ b）1師団ターンc）7師団ターン



P =（p ₀ 、p ₁ 、...、p _{n − 1} ）が正の整数の文字列を表すとします。 ρ（P）がPの回転を右に1ポジション示すこと、つまりρ（P）=（p _{n − 1} 、p ₀ 、p ₁ 、...、p _{n − 2} ）とし、 ρd（ P）は、 Pを右にd位置だけ回転させます。 図3は、西アフリカのベンベベルリズムに相当するPを持つρ（P）演算子を示しています[32]。 図3（a）はベンベの鐘のリズムを示し、図3（b）はρ（P ）を示し、これは西アフリカのポップのリズム[24]、図3©はρ7 （P）を示しています。これはキュラソーのタンブー [28] ]。



Ellis et al。[11]は、 p ₀を1つ増やし、 p _{n − 1}を1つ減らすと新しい行が得られる場合、文字列P =（p ₀ 、p ₁ 、...、p _{n − 1} ）をユークリッド 文字列として定義します。 Pの回転であるτ（P）で表されます。つまり、 Pとτ（P）は同じネックレスのインスタンスです。 したがって、リズムをバイナリシーケンスとして表す場合、ユークリッドリズムはユークリッド文字列にはなりません。使用されるアルゴリズムの特性により、すべてのユークリッドリズムは1で始まるためです。 p ₀を1増やすと、2つが生成され、文字列はバイナリシーケンスでなくなります。 したがって、ユークリッド文字列とユークリッドリズムの関係を調べるために、ここでは、非負の整数の文字列も形成する間隔ベクトル（略して間隔ベクトル）の相互影響期間を接続することにより、リズムを提示します。 例として、 E （4.9）= [xxxx。]として定義されているトルコのリズムAksak [6]を考えます。 区間ベクトル表記では、 E （4.9）=（2223）が得られます。 τ （2223）=（3222）、これはE （4,9）の回転であり、ユークリッド文字列です。 実際、 P = E （4.9）の場合、 τ（P）=ρ3（P）です。 2番目の例として、図3（b）に示され、 P =（1221222）で定義される西アフリカの拍手リズムを考えます。 τ（P） =（2221221）=ρ6 （P）であることがわかります。これは、図3©に示されている図であり、（0.6）軸に沿ったPの鏡像でもあります。 したがって、 Pはユークリッド文字列です。 ただし、 Pはユークリッドリズムではないことに注意してください。 ただし、 Pはユークリッドリズムの回転E （7,12）=（2122122）です。



Ellis et al。[11]は、ユークリッド弦に関する多くの優れた結果を受け取ります。 彼らは、 nと（p ₀ 、p ₁ 、...、p _{n − 1} ）が互いに素である場合にのみユークリッド文字列が存在し、それらが存在する場合、それらは一意であることを示しています。 また、ユークリッドアルゴリズムと同じ構造を持つアルゴリズムを使用してユークリッド文字列を作成する方法も示します。 さらに、ユークリッド文字列は、単語の組み合わせ論で研究されている他の多くの系列ファミリと相関しています[1]、[19]。



R（P）がP （鏡面反射）の逆を示すとする、すなわちR（P）=（p _{n − 1} 、p _{n − 2} 、...、p ₁ 、p ₀ ） たとえば、 P =（2223）のAksakリズムの場合、 R（P） =（3222）が得られます。つまり、 R（P）は、同じビートから始まるPリズムの後方演奏を意味します。 これで、上記の世界の音楽で使用されているユークリッドリズムのうち、ユークリッドストリングまたは逆ユークリッドストリングを判別できます。 ユークリッド文字列の長さは、含まれる数字の数によって決まります。 リズムの領域では、これはリズムに含まれるアクセント付きビートの数です。 さらに、単一の文字列がユークリッド文字列であることは明らかです。 したがって、 E （1,2）= [x。など、1つのアクセントのあるビートを含むすべての些細なユークリッドリズム。 ] =（2）、 E （1,3）= [x。 。] =（3）、およびE （1,4）= [x ...] =（4）などは、両方ともユークリッド文字列と逆ユークリッド文字列です。 次のリストでは、ユークリッドリズムを従来の表記法と区間ベクトル表現の両方で示しています。 これらのリズムを使用する音楽スタイルもリストされています。 最後に、ユークリッドリズムの逆バージョンのみが実行される場合、それはリストに含まれますが、ネックレスとして記述されます。



次のユークリッドリズムはユークリッドストリングです。



E （2,5）= [xx。] =（23）（クラシック音楽、ジャズ、ペルシャ音楽）。



E （3,7）= [xxx。] =（223）（ブルガリアの民族音楽）。



E （4.9）= [xxxx。] =（2223）（トルコ語）。



E （5.11）= [xxxxx。] =（22223）（クラシック音楽）。



E （5.16）= [x .. x .. x .. x .. x ....] =（33334）（ブラジルのネックレス）。



次のユークリッドリズムは、ユークリッドの逆弦です。



E （2,3）= [x。 x] =（21）（西アフリカ、ラテンアメリカ）。



E （3,4）= [x。 xx] =（211）（トリニダード、ペルシャ）。



E （3,5）= [xx x] =（221）（ルーマニアおよびペルシャのネックレス）。



E （3.8）= [x .. x .. x。] =（332）（西アフリカ）。



E （4.7）= [xxx x] =（2221）（ブルガリア）。



E （4.11）= [x .. x .. x .. x。] =（3332）（フランクザッパ）。



E （5,6）= [x。 xxxx] =（21111）（アラビア音楽）。



E （5.7）= [x。 x x xx] =（21211）（アラビア音楽）。



E （5.9）= [xxxx x] =（22221）（アラビアリズム、南アフリカおよびルーマニアのネックレス）。



E （5,12）= [x .. xx。 x。 x。] =（32322）（南アフリカ）。



E （7.8）= [x。 xxxxxx] =（2111111）（リビアのトゥアレグリズム）。



E （7.16）= [x .. xxx。 xx x。] =（3223222）（ブラジルのネックレス）。



E （11.24）= [x .. xxxxx。 xxxx x。] =（32222322222）（中央アフリカ）。



次のユークリッドリズムは、ユークリッドストリングでもリバースユークリッドストリングでもありません。



E （5.8）= [x。 x x xx。] =（21212）（西アフリカ）。



E （7,12）= [x。 x xx x x。 x。] =（2122122）（西アフリカ）。



E （9.16）= [x。 x xxx x xx x。] =（212221222）（西および中央アフリカ、ブラジルのネックレス）。



E （13.24）= [x。 x xxxxx x xxxx x。] =（212222212222222）（中央アフリカのネックレス）。

6.結論の観察

ユークリッドリズムと呼ばれる新しいリズムファミリについて説明しました。ユークリッドリズムは、ユークリッドアルゴリズムと同じ構造を持つシーケンスを生成するビョークランドアルゴリズムを使用して取得できます。 ワールドミュージックで使用されるリズムの多くはユークリッドリズムであることが示されています。 これらのユークリッドリズムのいくつかはユークリッドストリングでもあります[11]。



前のセクションで説明したユークリッドリズムの3つのグループは、魅力的なパターンを示しています。 ユークリッド弦（最初のグループの最初の4つ）でもあるユークリッドリズムは、クラシック音楽、ジャズ、ブルガリア、トルコ語、ペルシャ音楽で使用されますが、アフリカ音楽では人気がありません。 ユークリッドストリングではなく、ユークリッドストリングも逆ユークリッドストリング（3番目のグループの最初の2つ）は、ブラックアフリカの音楽でのみ使用されます。 最後に、ユークリッドリズムはユークリッドの逆の弦（2番目のグループ）であり、はるかに魅力的です。 これらの数学的特性の明らかな選好に関する音楽学的説明の検索は、興味深い民族音楽学的問題を引き起こします。



[11]で説明されているユークリッド線は、別のリズムファミリを定義します。その多くはワールドミュージックでも使用されていますが、必ずしも（1221222）アフロキューバンベルリズムなどのユークリッドリズムではありません。 したがって、ユークリッド弦とワールドミュージックのリズムの関係を経験的に調査し、ユークリッドリズムとユークリッド弦の正確な数学的関係を正式に決定することは興味深いでしょう。

カナダ、ケベック州モントリオール、マギル大学コンピュータサイエンスのゴッドフリートーシンスクールgodfried@cs.mcgill.ca

この

研究はNSERCとFCARによってサポートされました