単純化するために、図1に示す[1]のように、合成数A = 35の残差の行列を考えます。
すでに述べたように[1]、合成数Aのパワー残差の表（図1）には特定の特徴があります。
| 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 |
| 33 | 4 | 27 | 16 | 3 | 29日 | 12 | 11 | 13 | 9 | 17 | 1 | 33 | 4 | 27 | 16 | 3 | 29日 | 12 | 11 | 13 | 9 | 17 | 1 | 33 | 4 | 27 | 16 | 3 | 29日 | 12 | 11 | 13 | 9 |
| 32 | 9 | 8 | 11 | 2 | 29日 | 18 | 16 | 22 | 4 | 23 | 1 | 32 | 9 | 8 | 11 | 2 | 29日 | 18 | 16 | 22 | 4 | 23 | 1 | 32 | 9 | 8 | 11 | 2 | 29日 | 18 | 16 | 22 | 4 |
| 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 |
| 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 |
| 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 |
| 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 |
| 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 |
| 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 |
| 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 |
| 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 |
| 23 | 4 | 22 | 16 | 18 | 29日 | 2 | 11 | 8 | 9 | 32 | 1 | 23 | 4 | 22 | 16 | 18 | 29日 | 2 | 11 | 8 | 9 | 32 | 1 | 23 | 4 | 22 | 16 | 18 | 29日 | 2 | 11 | 8 | 9 |
| 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 |
| 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 |
| 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 |
| 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 |
| 18 | 9 | 22 | 11 | 23 | 29日 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 18 | 9 | 22 | 11 | 23 | 29日 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 18 | 9 | 22 | 11 | 23 | 29日 | 32 | 16 | 8 | 4 |
| 17 | 9 | 13 | 11 | 12 | 29日 | 3 | 16 | 27 | 4 | 33 | 1 | 17 | 9 | 13 | 11 | 12 | 29日 | 3 | 16 | 27 | 4 | 33 | 1 | 17 | 9 | 13 | 11 | 12 | 29日 | 3 | 16 | 27 | 4 |
| 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 |
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
| 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 |
| 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 |
| 12 | 4 | 13 | 16 | 17 | 29日 | 33 | 11 | 27 | 9 | 3 | 1 | 12 | 4 | 13 | 16 | 17 | 29日 | 33 | 11 | 27 | 9 | 3 | 1 | 12 | 4 | 13 | 16 | 17 | 29日 | 33 | 11 | 27 | 9 |
| 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 |
| 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 |
| 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 |
| 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 |
| 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 |
| 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 |
| 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 |
| 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 |
| 3 | 9 | 27 | 11 | 33 | 29日 | 17 | 16 | 13 | 4 | 12 | 1 | 3 | 9 | 27 | 11 | 33 | 29日 | 17 | 16 | 13 | 4 | 12 | 1 | 3 | 9 | 27 | 11 | 33 | 29日 | 17 | 16 | 13 | 4 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 29日 | 23 | 11 | 22 | 9 | 18 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 29日 | 23 | 11 | 22 | 9 | 18 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 29日 | 23 | 11 | 22 | 9 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
図 1合成数A = 35のべき乗の表。
値が数値Aの約数の倍数である行を除外する場合、残りの値が1である2つの列が必ずあります。 図 1は、番号12、24の列です。
これらの2つの列のうち、最大の列番号は（x-1）と（y-1）の積です。ここで、 xとyは Aの約数です。 この場合、列番号24はオイラー関数[2]の値に等しく、その値は
（x-1）*（y-1）=ѱ（n） 。
数Aとオイラー関数ѱ（n）の差は（x + y-1）です。
これらのパターンにより、方程式系を構成できます。
Ѱ（n）=（x-1）*（y-1）
A-ѱ（n）=（x + y-1）
式（1）
順列を使用して、方程式系（1）を2次方程式（2）に還元できます。
y 2- （A-ѱ（n）+ 1）y + A = 0
式（2）
この方程式をうまく解くには、 ѱ（n）だけが欠落しています。
さらに、テーブルの数Aのパワー残差の特性を考慮します（図1）。 逆値の概念を紹介します[3]。 数値の範囲（1、A-1）からcの値を選択し、 cにxとyの複数の除数がないようにすると、同じ範囲（1、A-1）からの値dが常に存在します。
c * d≡1（mod A）
式（3）
つまり c * d = nA +1 。ここで、 nは1〜 （A-2）の値を取ることができます。
表記d = inv（c） 、つまり dはcの逆数です。 単純係数xとyの積に等しい合成数Aの場合、逆値のペアの数は
（A-（x-1）-（y-1）-1）/ 2
フォーミュラ（4）
表の行（図1）の逆の値は、番号ѱ（n）の列に対して対称に配置されます。
表の列の逆値（図1）は、最初の列の逆値のペアに対して対称に配置されます。
ѱ（n）を見つけるための一連のアクションを検討します。
1.検索範囲を縮小します。 （A-1）から、最も近い整数に計算されたAの平方根の値を取得します。 ѱ1によって得られた結果を示します。
2.数値Aの約数x 、 yの倍数ではなく、数値cを選択します。 cのパワー残差の重複値の最小数が望ましいです。
3.数d = inv（s）を見つけます。 拡張ユークリッドアルゴリズムを使用して見つけることができます[4]。
4.指数1から始まり、 Aの平方根以下の数値mで終わるdのべき乗残差を求めます。
5.配列で見つかったべき乗則の残差を見つけ、それをMで示します。 配列Mは昇順でソートされ、指数でインデックス付けされます。
6. cのremainder 1乗をAで割った余りを計算し、 Mの値と比較します。
7.一致するものがない場合、 ѱ1からmを引き 、結果の値をѱ1に割り当てます。 次に、一致するまで段落6と7を繰り返します。
8.一致する場合、配列Mの値に一致する次数インデックスの大きさをѱ1から減算し、結果の値をѱ1に割り当てます。
この場合、 ѱ1 =ѱ（n）です。
仕組みは次のとおりです。 （A-1）= 34 （図1）から35の平方根、つまり 5、29を取得します。 cについては、 18を選択します。 inv（18）= 2です。 m = 5の場合、配列M = {2、4、8、16、32} 。 35で割った29の累乗の18の残りは23です。 inv（23）= 32 。 この値は配列内にあり、インデックスは5です。 29から5を引く必要があります。 結果の値24はѱ（n）です。 次に、式（2）のAとѱ（n）を代入し、 yを見つけます。 y 1 = 7 、 y 2 = 5
別の例。
2から11次、マイナス1は2047です。
2047 = 23 * 89
2047/3 = 682および剰余1
c = 682、inv（s）= 3
2047の平方根= 45、剰余22。
2047-45 = 2002
m = 20
M = {3、9、27、81、243、729、140、420、1260、1733、1105、1268、1757、1177、1484、358、1074、1175、1478、340}
2002年の682を2047で除算し、残りは1013です。inv（1013）= 1657、配列に一致するものはありません。
2002-20 = 1982
682の1982乗は2047で除算され、残りは524です。inv（524）= 1504、配列に一致するものはありません。
1982-20 = 1962
682の1962乗は2047で除算され、残りは71です。inv（71）= 173、配列には一致がありません。
1962-20 = 1942
682の1942乗は2047で除算され、残りは1623です。inv（1623）= 729、配列に一致があり、インデックスは6です
1942-6 = 1936 =ѱ（n）
y 2- （2047-1936 + 1）y + 2047 = 0
y 2-112y + 2047 = 0
y 1 = 89
y 2 = 23
文学
1.「数字の対称性」、 habrahabr.ru / post / 218053
2.「オイラー関数」、 en.wikipedia.org / wiki / Euler_Function 。
3.「リターン番号」、 en.wikipedia.org / wiki / Return_Number
4.「公開キー暗号化」、 ikit.edu.sfu-kras.ru / files / 15 / l5.pdf