単純なセットの距離スペクトルとその関連付け（パート2）

最初の部分では、ハンマー（距離の2乗の偏差のマトリックスのスペクトル）を取り上げ、一対の釘（3点のセット）でテストしました。 そして、私はこれらのスペクトルで忙しかった間に、ルーレットを作るメーカーに提案をしました。 測定テープの裏側から放物線状の目盛り （平方センチメートル）を追加する必要があります。 ここでの距離の2乗は単に満杯であり、通常の（線形の）距離は悲惨な特殊なケースのように見えます。 このようなルーレットで夏の家を建てるとき、コーナーの長方形性、その他の不変量を空間内の点と平面上の点の距離で確認することができます。

正多角形および多面体の頂点のスペクトル

正三角形の頂点のスペクトルを全体として正多角形の頂点のスペクトルに一般化することは論理的です。

正多角形の頂点を半径Rの円に内接させます。 独自の座標系（重心）の中心は、円の中心に配置されます。 すべての頂点は同じ平面上にあるため、スペクトルの固有値の数は2になります。対称性のために固有値が等しくなければならないことも明らかです。

最初の部分の式（2.2）によれば、スペクトルの固有値の合計は、重心から頂点までの距離の2乗の合計に等しくなります。つまり、頂点の数と円の半径の2乗の積に等しくなります。 その結果、正多角形の固有値の式を取得します。







途中で、不変式の1つに注目します。通常のnゴンの場合、指定された頂点と残りの点の間の距離の2乗の合計の簡単な式があります。







（パラボラルーレットは、n石炭ガゼボを設計するときにこの不変式を制御するのに役立ちます）。



半径Rの球に内接する正多面体のスペクトル式を導出するには、上記と同様の推論を使用できます。 唯一の違いは、空間に3つの固有値があるため、スペクトルの合計を3で割る必要があることです。







ご存知のように 、頂点の数（4、6、8、12、および20）を持つ5種類の正多面体しかありません 。 ただし、式（4.7）自体は、頂点のセットに制限を課しません。 したがって、この式は、通常の多面体だけでなく、頂点が球体にある対称な多面体にも適用できます。 このような多面体の例としては、球（菱形-6頂点）上に間隔を置いて配置された面の中心に頂点が追加された立方体（8頂点）があります。 合計で、14頂点の対称多面体を取得します。そのためには、式（4.7）を適用する必要があります（著者は確認しませんでした）。

5.回折格子のスペクトル

私たちの生活では、格子は多面体よりも一般的です（もちろん、残念ながら）。

単位定数の格子のスペクトルの表現

最も単純な非縮退ラティスは、1本の直線上で互いに同じ距離にある一連のポイント（ノード）です。 ラティスのノード間の距離は、 ラティス定数と呼ばれます。 簡単にするために、まず定数が1の格子を考えます。

1次元格子のスペクトルには、1つの固有値のみが含まれます。 スペクトル値の正式な結論は読者に任せます。ここで最終的な答えを示します。 1次元格子の固有値は、格子ノードの数に立体的に依存します。







括弧内の次数は、次数の減少を示します。







何らかの形での1次元1格子の固有値は、格子の多次元スペクトルに含まれます。 したがって、特別な表記g（n） 、名前はbasic 、最初の値の表を示します。

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
g（n）	0.5	2	5	10	17.5	28	42	60	82.5

正方格子スペクトルには、2つの同一の固有値が含まれます。 ベースを通して表現：







ここで、 nは一方向の格子のサイズ（ポイントの数）です。

同様に、立方格子のスペクトルを取得するには、正方スペクトルにnを掛ける必要があります。 次元dの 1格子のスペクトルの一般式：







ラティスに異なる次元の異なる数のノードが含まれている場合（2次元以上のラティスで可能）、一般的な場合のスペクトルの固有値は等しくありません。 次元（k：l）の平面上の長方形格子の場合、固有値の形式は次のとおりです。







たとえば、サイズ（3：2）の格子スペクトルの場合：







同様の式は、サイズ（k：l：m）の 3次元（立方）格子にも当てはまります 。







順列を観察します。

式（5.4）、（5.5）を使用して、規則的な格子のノード間の距離の2乗の平均値（半径）-スペクトルの固有値の合計を決定できます。

グリッドセルのサイズを考慮します

完全を期すために、セルの次元が（一定の）ラティスによってどのように影響を受けるかを調べることをお勧めします。 寸法上の理由から、格子定数を正方形として固有値の式に含める必要があると仮定することは論理的です。 本当にそうです：







格子セルが正方形ではなく、長方形（各方向に異なる定数格子）の場合、固有値は異なります。 各測定には独自の格子定数があります。 たとえば、次元aとbの長方形格子の場合、固有値は次のようになります。







格子セルと格子自体の両方が非対称である場合、そのような格子の固有値を計算するためには、式の格子の測定と次元の順序に従う必要があります。 たとえば、サイズaxbの長方形セルを持つサイズ（k：l）の 2次元格子の固有値は、次の式で表されます。







ここで、次元と次元の順序が重要です。次元aは、方向kの格子セルの長さ、方向lのサイズbを定義します。 2次元スペクトルと1次元スペクトルの関係を見ることができます。1つの次元のスペクトルに他の次元のポイントの数が乗算されます。



セルサイズabcを考慮に入れると、3次元格子の式は似たように見えます。

擬似格子

2次元の擬似格子とは、2つの1次元の格子の組み合わせを意味し、互いに垂直で、中心で交差しています（クロスを形成）。 異なる座標（最初の2つに垂直）でこの格子にもう1次元を付加すると、3次元のクロス（擬似格子）が得られます。

擬似格子のスペクトルの固有値は、1次元格子のスペクトルによって決まります。 違いは数量（寸法）のみです。 2次元格子の場合、2つの非ゼロの固有値があり、3次元格子の場合は3です。







ここで、 nは1つの座標（いずれかの方向）のノードの数です。 （5.6）座標軸のスペクトルを表します。

6.セットの追加

ポイントのセットの複雑な構成は、いくつかの単純なものに便利に分割されます。 したがって、距離セットのスペクトル分析では、ユニオンスペクトルの問題、つまり複数のセットのスペクトルがどのように動作するかを考慮することが重要です。



まず、セットにそれ自体を追加すると、スペクトルの値が単純に2倍になることに注意してください（セットのポイントの多重度が2倍になるため）。

回折格子のスペクトルに目を向けます。 格子は、スペクトルの値を比較的単純に表現できるという点で便利です。 これにより、格子の追加のスペクトルの明示的な公式を取得することができます。

簡単にするために、1次元の格子を使用します。 格子を結合し、一方を他方に対して相対的にシフトし始めると仮定します。 あなた自身の意味はどのように振る舞いますか？ 互いに距離dだけシフトされた定数aを持つn個のノードで構成される2つの1次元格子のスペクトルの式は、次の形式になります。









したがって、2つのセットを組み合わせた結果のスペクトル値は、3つのメンバーの合計として表現できることがわかります。2つは個々のセットのスペクトルで、3つ目はセット間のスペクトル（相互スペクトル）です。



このステートメントをもう1つの例で検証してみましょう。 1次元スペクトルをさまざまな格子定数と組み合わせます。 実際、ビート周波数を表示するライン上のポイントのセットを取得します。 いくつかのポイントは一致する場合があり（多重度2）、簡単にするために、2つのセットが極値ポイントの1つで整列していると仮定します（開始が一致する）。





個々の格子のスペクトルがわかっているため、相互作用スペクトルを分離し、その明示的な表現を見つけることができます。







つまり、異なる定数（ただし同じサイズ）の1次元格子で構成されるセット間の相互スペクトル （このコンテキストでは、距離の2乗のスペクトル）の式は次の形式になります。







この式を単純に取り上げました。 相互距離の行列である初期データから何らかの方法で導出することは可能ですか？これは未解決の問題です。



デカルト格子に関連付けられなくなったセットの別の結合を考えます。 空間で3つの等距離点の2つのセットを拡張します。 その結果、高さhの特定の三角柱の頂点を取得します。 3番目の固有値（空間）がスペクトルに現れると予想されます。 その値は、高さのサイズ（2つの正三角形の頂点の相互除去）によって決まります。 スペクトルの最初の2つの値は単純に2倍になります。







この例では、元のセットのスペクトルだけでなく、相互スペクトルも区別できることがわかります。 この構成では、相互スペクトルの値が新しい固有値（測定）を形成します。

再び休息

デカルト（長方形）格子のスペクトルを調べました。他のタイプはすべて角括弧の外に残します。

そのような格子のスペクトルには、明示的で単純な表現があります。



正多角形と多面体のスペクトルも単純です。



私たちは主に幾何学的な類推に頼りますが、格子は物理的な空間だけでなく存在します。 時間サンプル（測定、リズム）は、1次元の時間グリッドの例です。



2つのセットの相互スペクトルを計算することが重要です。 これにより、複雑な構成のスペクトルを単純な構成で表現できます。



ここで与えられた数式を数値的に検証するには、スプレッドシートの機能では不十分です-数学ライブラリが必要です（NumPyはPythonに非常に適しています）。



継続