先週、モニターを更新しました。 彼はApple Cinema Displayを捨て、Dellの代わりに4Kモニターを採用しました。 プリンターとしては、90年代の白黒からグレースケールモニターへの以前のアップグレードが好きでした。 しかし、4Kはさらに優れています。 高解像度ディスプレイはすでにスマートフォンやタブレットに搭載されています。 ラップトップやデスクトップに表示されるのは素晴らしいことです。 フォントは素晴らしいですね。
けれども-良いフォントは素晴らしいように見えます。 悪いものはさらに悪く見えます-粗いピクセルの見分けがつかないエッジの後ろに隠れません。 テキストを扱う場合-読み取り、書き込み、プログラム、描画（およびこれはほぼすべての職業をカバーします）、4Kへのアップグレードは価値があります。
しかし、4Kとは何ですか？ マーケターの簡単な手で、これは3840 x 2160ピクセルの画面です（3840はほぼ4,000です）。 両側で、解像度はHDTVの2倍、つまり1920x1080です。
最初、人々は4Kスクリーンには「2倍のピクセル」があると言っていました。 実際、ピクセル数を直線的に2倍にすると、各ピクセルを垂直と水平の両方にカットするのと同じになります。 つまり、4Kスクリーンでは、HDTVの4倍のピクセルがあります。
そして、これは典型的なもので、誰もそこで止まることはありません。地平線上にはすでに8Kと呼ばれる7680 x 4320ディスプレイがあります。 一方、人間の目で認識される解像度には限界があります。 4Kへの移行が顕著です。 8K-目立たない。 ある時点で、ピクセルの分割を停止する必要があります。
しかし、それらが停止しない場合はどうなりますか？ ピクセルを際限なく分割するとどうなりますか？ 画面には何ピクセルありますか？
a）正の整数の数
b）少ない
c）もっと
数学に興味がない場合、記事の結果は次のとおりです。4Kモニターを購入します。 感謝する価値はありません。
無限大を比較する
まず、ポイントc）で驚くかもしれません。これは、正の整数の数より大きい数を指します。 それらの数は無限ではありませんか？ 無限は「結局」ですか？ え？
ジョージ・カントールはあなたを数学者志望者とみなします
実際、いいえ。 ドイツの数学者ゲオルク・カントールが1860年代に活動を始めたとき、数学ではかなり長い間無限が使用されてきました。 しかし、常にいくつかのあいまいさと誤解がありました。 カントールはすべてを説明しました。
彼が研究した質問の1つは、すべての無限集合が同じサイズを持っているかどうかです。 しかし、無限集合をどのように比較するのでしょうか？ 有限のセットがある場合、それらを再カウントできます。 より多くの要素を持っている人は、彼が勝った。
OK、無限集合を直接数えることはできません。 しかし、有限集合を直接再計算できないと想像してください。 たとえば、5番目の数字をどのように想像できますか？ あなたは手を見せて、「ここに指がたくさんある」と言うことができます。 つまり、数を既知のセット（指の数）に関連付けます。 セット内の要素の数は、その力とも呼ばれます。 特定のパワーのセットがある場合、あるセットの要素を別のセットの要素と比較することで、それを他のセットと比較できます。 2つのセットにすべての要素の一意の対応がある場合、それらのセットは等しくなります。
たとえば、多くのつま先の力を知りたいです。 つま先の各指に触れることができます。 したがって、腕と足の指のセットの力は等しいと結論付けます。
オブジェクトのバッグが2つあり、比較する必要がある場合、それらには再カウントせずに同じ数のオブジェクトが含まれていますか？ 袋の1つで終わるまで、各袋から1枚ずつ取り出します。 この時点で彼らが別のもので終わる場合、彼らの力は平等です。 そして、この方法は物事の数に依存しません。
だからカントールはそう考えた：無限を数えることはできないが、彼らの力を比較することはできる。 それらが一致する場合、2つのセットから1対1の対応（全単射）を作成できます。 または、そのような対応がないことを証明できます。その場合、セットの1つのパワーが大きくなります。
全単射はシンプルですが、仕事にも便利なツールです。 たとえば、どの整数が大きいかという質問に対する答えを見つけることができます-すべて正または偶数です。 多くの肯定的なものには偶数と奇数の両方が含まれているため、より肯定的なものがあると単純に答えることができます。
しかし、これはそうではありません。 全単射は、多くの正の数と偶数を照合できることを示しています。
1、2、3、4、...
2、4、6、8、...
そして、いくら進んでも、あるセットには別の要素に対応する要素が常に存在します。 したがって、これらのセットの能力は同じです。 奇妙に聞こえますが、そうです。
素晴らしい無限
ある集合の力が別の集合の力よりも大きいことを示すためには、それらに全単射がないことを証明する必要があります。 そして、カントールはこれが可能であることを示しました。 彼の証明は対角化を使用しており、次のとおりです。
Cantorは、無限に長いバイナリ文字列で始まりました。
10010101001011101010 ...
それから彼はこれらすべての行の多くについて考えました：
10010101001010101010 ...
01001010100101001001 ...
10010011110001001000 ...
...
そして彼は尋ねた：それらのうちのいくつが存在するのか？ 明らかに無限の数。 そして、これらのすべての行を何らかの方法でリストするだけで、正の整数を持つ全単射を見つけることができます。
1：10010101001010101010 ...
2：01001010100101001001 ...
3：10010011110001001000 ...
4：...
そのような全単射が可能な場合、無限バイナリ文字列のセットは正の整数のセットと同じパワーを持ちます。
そして突然、Kantorは、n行目のn番目の数字を選択し、そこから新しい無限数を構成し、0を1に、1を0に置き換えると、新しい行が得られることに気付きます。
1： 1 0010101001010101010 ...
2：0 1 001010100101001001 ...
3：10 0 10011110001001000 ...
4：...
001 ...
結果の文字列も無限でバイナリになります。 だから彼女は私たちの群衆に属します。 しかし、彼女は全単射ではありません。 なんで？ この方法で作成したため、新しい行はリストのどの行とも少なくとも1文字異なります。
つまり、多数の正の整数を持つ多数の無限バイナリ文字列を照合する方法を使用すると、常に全単射に含まれない行を作成できます。 つまり、全単射は不可能です。 したがって、両方のセットは無限ですが、無限バイナリストリングのセットのカーディナリティは大きくなります。
これらの2つの異なる力は非常に一般的であるため、独自の名前があります。 正の整数セットの累乗は、可算と呼ばれます。 無限バイナリ文字列のセットと同じパワーを持つセットは、カウント不能と呼ばれます。
無限のピクセル数で画面に戻る
画面上でピクセルが無限に分割されていることを覚えていますか？ これで、「無限大」が可算無限大を指すことがわかりました。 なんで？ 正の整数とピクセル分割の間に全単射を作成できるからです。
巨大なピクセルから始める場合：
ステップ1で、水平方向に半分に分割します。
ステップ2-垂直方向
3ですべてを水平に分割します
4-垂直
等
各セクションは正の整数に対応しているため、可算無限集合の全単射を取得します。
そして、何ピクセル取得しますか？ 無限の数。 さらに、数え切れないほどの数のカットを行ったため、数え切れないほどの数のピクセルを取得する必要があります。 かどうか？
数え切れないほどの数のピクセルが突然取得される可能性がありますか？ ピクセル数と数え切れないほどの無限集合の間の全単射を試みましょう。 たとえば、無限バイナリ文字列の同じセット。
10010101001010101010 ...
01001010100101001001 ...
10010011110001001000 ...
...
ピクセルを垂直または水平にカットして画面を作成したことを思い出してください。 各バイナリ文字列は、文字列の数字を使用して画面上の特定のピクセルにマッピングできます。
最初のステップでは、水平カットを行いました。 行の最初の桁が0の場合、ピクセルの上部を選択します。 1が一番下の場合。
0...
|
1...
|
2番目のステップでは、垂直断面を作成しました。 次に、2番目の数値が0の場合、ピクセルの左半分を選択します。 1の場合-右。
00...
| 01...
|
ここでこのプロセスを繰り返します。数字は上または下を示し、次に左または右を示します。 ステップ4の後：
0000...
| 0001...
| 0100...
| 0101...
|
1000...
| 1001...
| 1100...
| 1101...
|
さらに、セルが減少し、バイナリ文字列が増加します。 そして、各ピクセルと各無限バイナリストリングの1対1の対応を取得します。 つまり、全単射を取得します。 また、無限バイナリ文字列の数は数えられないため、ピクセル数は数えられません。
Cunningham Law：オンラインで回答を得る最良の方法は、間違った投稿をすることです
記事の最初の公開後、議論のギャップを示す手紙を受け取りました。 そして最終的に、ピクセルの数が無限である画面には、それらのカウント可能なセットが含まれていることが判明しました。
議論にギャップがあります。 ピクセルカットテクノロジを使用すると、各無限バイナリラインにピクセルを割り当てることができると述べました。 いくつかの読者は、対角化を使用して矛盾を見つけようとしました。ピクセルに対応しない線を作成する方法を考えることができると言っています。 しかし、これはそうではありません。
私の全単射の問題は、彼女がすべての無限バイナリ文字列を添付できないことではなく、それらのいずれも添付できないことだからです。
各行は無限ですが、正確な番号、つまり画面上の特定のポイントに対応しています。 これは気にしないでください。 たとえば、1/3という数値は0〜1の間であることに注意してください。ただし、この数値の10進表記は0.3333（3）の無限です。 追加する数字が多いほど、1/3に近くなります。 1/3は、小数点以下のこの一連の数字の制限ですが、書き留められることはありません。 ある意味では、限界は一連の近似の「外側」にあります。
したがって、私の設計のピクセルは、無限のバイナリ文字列の近似値を表し、その限界になります。 しかし、0.3333（3）を正確に1/3に構築する方法はないため、特定の無限バイナリ文字列で表される特定のポイントに到達するまでピクセルを見つける方法はありません。 したがって、全単射に関する私の仮定は誤りでした。
各ピクセルは近似値であるという考えを受け入れ、デザインを使用してピクセルを再計算できます。 開始ピクセル1に番号を付けましょう。
1
|
ピクセルを分割するたびに、以前と同じように2進数を追加します。
10
|
11
|
100
101
| 110
111
|
ステップ4にジャンプします。
10000
| 10001
| 10100
| 10101
|
11000
| 11001
| 11100
| 11101
|
このようにして、各ピクセルを一意の整数（2進数でも10進数でもかまいません）と一致させることができます。 ピクセルの総数は無限ですが、正の整数の任意のサブセットに対して、多くの正の整数を持つ全単射を見つけることができます。 したがって、整数よりも多くのピクセルはありません。
ボーナス
無限バイナリ文字列はどうですか？ 画面上にピクセルが存在するよりも（カウントできないものが多いため）、それらの数が多いことがわかります（カウントできないものが多いため）。 これらの2つの無限大を一致させることはできますか？ そう思う。
Cantorの定理によれば、オブジェクトのセットでは、サブセットのセットは常に大きくなります（つまり、パワーが大きくなります）。 これは、小さなセットで見やすいです。 3つの要素のセット{x、y、z}には8つのサブセットがあります：{x}、{y}、{z}、{x、y}、{x、z}、{y、z}、{x、y 、z}および{}（空）。 このサブセットのセットは、セットの次数、またはブールとも呼ばれます。
ブールはどのくらいですか？ サブセットを作成するとき、実際、各要素を含めるかどうかについていくつかの決定を行います。 つまり、セット{x、y、z}には3つの要素と3つの解があります。 そして以来 各決定には2つのオプション（受け入れと受け入れなし）があり、可能なサブセットの数は2 * 2 * 2 = 8です。つまり、有限セットの場合、ブール値のサイズは2のセット内の要素数のべき乗になります。
カントールの定理の秘trickは、無限集合でも機能することです。 正の整数のブール値、つまり、正の整数のすべての可能なサブセットを考えます。 ブール自体は無限集合になりますが、カントールの定理によれば、正整数の集合よりも強力になります。
1つのセットが他のセットよりも大きいという考えは、依然として奇妙で抽象的なように見えます。 無限のピクセル数で画面に戻ります。 これらのサブセットを指定する方法を見てみましょう。 各サブセットは、含める/含めない決定のセットであるため、「0」ではなく「1」で含めることを示すことができます。 次に、正の整数ごとに1桁を書き込むだけです。
10010101001011101010 ...
したがって、正の整数の完全なブール値は次のようになります。
10010101001010101010 ...
01001010100101001001 ...
10010011110001001000 ...
...
おなじみです。 Cantorの無限バイナリ文字列セットに戻りました。 対角化は、このセットが整数よりも強力であることを示したことを思い出してください。 カントールの定理は同じことを言っていますが、ブール値に関してのみです。
ビットが多すぎる
ゼロと1のシーケンスは、ビットストリームを思い出させます。 ビュリアンをビットシーケンスとして記述できる場合、それを何らかの方法で情報用語で説明することは可能ですか？
じゃあ セットの情報容量の尺度としてブールを考慮します。 3つの要素{x、y、z}のセットを使用して、8つの異なるサブセットを作成できることがわかりました。 コンピューターの3ビットで8つの数字を表現できるのと同じです。 このような等価性は、有限集合に対して保持されます。 そして、カントールの定理による-無限のためにも。
ご覧ください。 数え切れないほどのピクセルの画面があります。 ピクセルは、情報を表示するためだけに必要なため、私たちに適しています。 白（オン）と黒（オフ）の2色のみを使用します。
コンピューターの電源を入れます。 画面にビットマップが表示されます。 これは白いピクセルのセットとして定義されます-これは画面全体のサブセットになります。 もちろん、コンピューターを使用すると画像が変化し、さまざまなピクセルのサブセットが得られます。
それで、無限のピクセル数で画面に表示できるビットマップはいくつですか？ つまり、そのような画面の情報容量はどのくらいですか？
選択された画像はすべてピクセルのサブセットで表されるため、可能なすべての画像のセットは、ピクセルのすべての可能なサブセットのセット、つまりブールです。 カウント可能なセットのブール値は、カウントできないセットです。
画面には数え切れないほどの無限のピクセルセットしか含めることができないにもかかわらず、数え切れない数の無限のイメージセットを表示できることがわかりました。 多くの無限のバイナリ文字列のプレゼンテーションが必要な場合は、すべてを表示できるため、このような画面を使用します。
それ以外の場合は、表示を4Kに更新するだけです。 彼にはたくさんのピクセルがあります。
読者演習
無限のグリッドを構成する特定のサイズの無限のピクセルから画面を構築する場合、この画面には元のピクセルよりも多くのピクセルがありますか、それとも同じですか、それとも同じですか？