ハースストーンでの楽しい数学

私はBlizzard Entertainmentが開発した人気のHearthstoneコンピューターカードゲームのファンです。 ある日、「ゲームに負けたとき/勝ったときのプレイヤーのレベル間の遷移のダイナミクスに基づいたルールのみに基づいて、レベルに応じたプレイヤーの分布に関する統計を取得することは可能ですか？」







ネットワークには、Hearthstone専用の膨大な数のサイトとwikiがあるにもかかわらず、表面的な検索では結果が得られませんでした。 深い検索が残念だったので、「膝の上で」問題を解決しました。 この決定は、学校の数学サークルのクラスのトピックになると思います。

タスクの説明

ハースストーンレーティングトーナメントには25のレベルがあり、特別なレジェンドレベルがあります。 レベルはサブレベルで構成されます-いわゆる 「星」、および異なるレベルではサブレベルの数が異なります。

• レベル25〜21は2つのサブレベルで構成されています。
• レベル20〜16は3つのサブレベルで構成されています。
• レベル15〜11は4つのサブレベルで構成されています。
• レベル10〜1は5つのサブレベルで構成されます。
• 凡例にはサブレベルはありません。

したがって、評価のレベルの行（以下、行と呼びます）は96のサブレベル（「凡例」を含む）で構成されます。





図1



新しいプレイヤーは、レベル25からランキングで開始します。 ゲームに勝つために、プレーヤーは「スター」（時には2）を受け取ります。 サブレベルを1（または2）ずつ上げます。



ゲームの勝敗に応じてプレーヤーのレベルを変更するためのルールが異なる行には4つの範囲があります。



表1

条件名	レベル範囲	勝ち負け時にサブレベルを変更するためのルール
「スプリングボード」	25-21	敗北：サブレベルは変更されません 勝利：+1 3（またはそれ以上）連続で勝利：+2
「加速レース」	20-6	敗北：-1 勝利：+1 3（またはそれ以上）連続で勝利：+2
「通常のレース」	5-1	敗北：-1 勝利：+1
「伝説」	凡例	敗北：サブレベルは変更されません 勝利：サブレベルは変更されません

明らかに、「スプリングボード」には報酬がありますが、敗北に対する罰はないため、「スプリングボード」は新しいプレーヤーを引き付けるのに役立ちます。 さらに、ルールは必然的にプレイヤーを「スプリングボード」から「アクセラレーションレーシング」の範囲に押し込むため、「スプリングボード」の人口は指数関数的に急速に「消滅」することは明らかです。 18ゲーム後に「踏み台」にとどまる確率は29％未満で、27ゲーム後には1.5％未満です。



「アクセラレーションレース」は、高いスキルと優れたデッキを持つプレイヤーが、真の「ルビー」が始まる「ノーマルレース」により早く到達するのに役立ちます。 そして最後に、「レジェンド」はトッププレイヤー向けのペンです。



私は2つの依存関係を見つけたいと思いました：

1. 一定数のゲームをプレイした後、プレーヤーが一定のレベルを獲得する確率を計算します。
2. 時間に応じてレベルごとにすべてのプレイヤーの分布を計算します。

解法とツールの選択

最初の考えは、JSでプログラムを記述し、上記のルールに従って相互作用の結果としてレベルが変化する多くのプレイヤーをシミュレートすることでした。 必要なJSコードのサイズについて少し考えた後、スプレッドシートはこの問題を解決するのに最適であると判断しました。



ソリューションのアイデアは次のとおりです。



96 * 1サイズの長方形の範囲（たとえば、添付ファイルのSource！$ C $ 3：$ C $ 98の範囲）は、ラインのプレーヤー数の分布を表します。 次に、表1のルールを使用して、各プレーヤーが1つのゲームをプレイした後の状態を表す分布を簡単に取得します。 表1のルールの範囲はSource！$ D3：$ D $ 98です。 これらのルールが必要な列数だけ「ドラッグ」されている場合、結果のテーブルは「時間」のレベルごとにプレイヤーの分布の変化を表します。 この場合の時間は引用符で囲まれています。なぜなら、ここでは「プレイされたゲーム」で測定されるからです。



私はOpen Office Calcから始めました。これは誰にとっても良いことですが、その3Dグラフィックスは「箱から出してすぐに」見た目がひどく見えます（たぶん料理の仕方が分からないかもしれません）。 その結果、ソリューションはMS Excelに実装され、 ここにあります 。 同じ場所にあるOpen Office Calcのオプションは、3-Dグラフの欠如と2-Dグラフの対話性の欠如を除いて、非常に機能的です。

プレイヤーが特定のレベルになる確率

図2



これらのチャートは、レベル25から始まり、それぞれ50、130、300、450、または570ゲームをプレイするプレーヤーの1つまたは別のレベルを獲得する確率を示しています。 Excelでは、グラフは対話型です。グラフ（図2）が変更されている間、[インターフェイス]タブの図の左側の数字をいじることができます。



3-Dでは、特定のレベルを獲得する確率の進化は非常に見栄えがよくなります。





図3



図2と同じ最小および最大「一時」境界（50および570ゲーム）を持つスライスを次に示します。

別の角度からの同じグラフ：





図4



「星」のレベル5および2（順番に72番目のサブレベル）に対応するポイントでグラフに「リブ」が表示されるのは、やや予想外です。 このポイントは、3回以上連続で勝利した後に「加速」でヒットする可能性の影響を受ける最後のポイントです。



71〜72のサブレベルのルールを見ると、次のようになっています。

71 = 1/8 * C69 + C70 * 3/8 + 0.5 * C72

72 = 1/8 * C70 + C71 * 1/2 + 0.5 * C73

ここで、CNNは前のステップでのNNサブレベルのプレーヤーの数です。

-最初のメンバーは、「現在の-2」のレベルから「加速された転送」を提供します。

-2番目のメンバーは、「current -1」のレベルで勝つときに通常の遷移を提供します。

-3番目のメンバーは、敗北の場合に上位レベルからの移行を提供します。



2番目の項の係数の1/8の違いは、5番目のレベル（71番目の序数のサブレベル）から、連続した勝利数に関係なく、サブレベルの増加が1のみであるという事実によるものです。 71番目のサブレベルでの勝利が3番目のプレイヤーに対するものであったとしても、彼は72番目のサブレベルにのみ移動します。



この一見小さな追加は、72番目のサブレベルへの「プレイヤーの流れ」がそれぞれ平均よりわずかに高いという事実につながり、その周辺の72番目のサブレベルからのプレイヤーの流れもわずかに高くなります。 プレーヤーのフローを72番目のサブレベルに増やす効果は自己強化であり、この顕著なリブの出現につながります。

レベルごとのすべてのプレイヤーの分布の計算

明らかに、プレイヤーは同時にプレイするゲームの数が異なります。 熱心なプレイヤーはより多くプレイし、カジュアルなプレイヤーはより少なくプレイします。



レベルごとにプレイヤーのモデル分布を計算するには、プレイするゲームの数ごとにプレイヤーの分布関数を知る必要があります。



次の表記法を紹介します。

• P（L、i））-所定のゲーム数（i）の後、プレイヤーが特定のレベル（L）になる確率（グラフは図2-4に示されています）
• Nは、最も熱心なプレイヤーがプレイするゲームの最大数です。 ここでNが時間の役割を果たすことに注意してください。 もちろん、これは普通の時間ではありません。 ただし、通常の時間tとNの間には、次の関係があります。 、したがって、「時間」としてのNは非常に適切です。
• Z（i、N）-プレイヤーが時間「N」までにiゲームをプレイした確率、または「時間」Nでプレイされたゲーム数によるプレイヤーの分布
• D（L、N）-「時間」Nの瞬間にレベルLのプレイヤーを見つける望ましい確率、または「時間」Nの瞬間にレベルごとのプレイヤーの分布。

それから



関数Z（i、N）のデータがないことをすぐに言わなければなりません。 ただし、このトピックについて少し推測することができます。



私に起こった唯一のことは、「人々の20％がビールの80％を飲む」ことでした。 おそらく「Hearthstoneのプレイヤーの20％がゲームの80％をプレイしている」でしょうか？ つまり、プレイしたゲームの数によるプレイヤーの分布は、離散パレート分布、またはより正確にはZipf分布であるという仮説です（ en.wikipedia.org/wiki/Zipf%27s_lawを参照）。



次の表記法を紹介します。

1. ヘルパー機能
   
   
2. 正規化係数（「時間」Nの瞬間）
   
   

次に、べき指数sを持つZipf分布：



プレイされたゲームの数によるプレーヤーの分布が指数1のZipf分布であるという仮定の下で、目的の関数D（L、N）のグラフを見てみましょう。



ここおよび次のグラフでは、D（L、N）は、「時間」Nポイントで50から700まで表示されます。





図5





図6



理由は理解できますが、かなりいように見えます。Zipfの分布によると、プレーヤーの大部分が「飛び込み台」に残っています。 まあ、推測-それで完全に。 変更されたZipf-Mandelbrotディストリビューションを構築します（ en.wikipedia.org/wiki/Zipf%E2%80%93Mandelbrot_lawを参照）。



1.補助機能を交換します







整数パラメーターStartshiftを導入する考え方は次のとおりです。標準のZipf配布動作の「アクション」の開始は、Startshiftステップにシフトされます。



実際、トレーニングのすべての困難を経験し、レーティングゲームに参加したばかりのプレーヤーが、1つまたは2つのレーティングゲームの後にプレイをやめる可能性は低いようです。 Zipf分布の「アクション」の始まりは、格付けの昇格の難しさの始まりとほぼ一致すると想定できます。 「飛び込み板」を離れる確率が½を超える瞬間（これはstartshift = 18を意味します）。 さらに、補助機能の定義から、「誤ってHearthstoneに参加している」プレイヤー（つまり、Startshiftゲーム以下をプレイしたプレイヤー）の総数は、最大分布のプレイヤーの数と一致することがわかります。 もちろん、これはすべて純粋な推測ですが、何が起こるのか見ないのはなぜですか？



万が一の場合に備えて、マンデルブロパラメータqが正当化されずに導入されました。



2.正規化係数（「時間」Nの瞬間）







次に、指数指数s、マンデルブロパラメーターqおよびパラメーター「シフト開始」Startshiftを使用して修正された分布：







グラフの下部にリストされているパラメーターで何が起こるか見てみましょう。





図7



手動実験の場合、Excelのグラフは対話型になります。グラフ（図7および図8）は変化しますが、分布パラメーターを使用して、「インターフェース」タブの図の左側に「時間」を表示できます。





図8



そして最後に、今日の最後の突風。 「実際の」データ（http://www.reddit.com/r/hearthstone/comments/23ed7l/how_good_are_you_at_constructed_ladder/）を使用して分布パラメーターを選択してみましょう。 これらはある種のシミュレーションの結果であり、その詳細は私には不明であり、特に「時間」Nのどの時点で測定が行われたかなどは不明です。 これは私が見つけた唯一のものです。 しかし、私は非常に一生懸命検索しようとしませんでした。 この記事の読者が、より関連性の高いデータのソースを教えてくれることを願っています。



ソルバーアドインおよび手動フィッティングによる反復データ処理により、次の分布パラメーターの値が得られました。 q = 0.287; スタートシフト= 110。 シミュレーションのソースデータにはレベル25〜21の母集団情報がないため、開始シフトは予想どおりに大きくなります。 「踏み台」は明らかにシミュレートされていません。



最終写真：





図9





図10

おわりに

結論として、私は純粋な好奇心から解決し始めた問題が、学校の数学サークルのクラスにとって良いトピックに思えたと繰り返します。 将来発生するエンジニアや科学者にとって、突然発生する問題を解決するために利用可能なすべての即興ツールを使用することが重要だと考えています。紙と鉛筆、スプレッドシート、WOLFRAM MATHEMATICAパッケージ。 このサンプルスプレッドシートアプリケーションが誰かに役立つことを願っています。



必要に応じて、教師はこのタスクからさまざまなトピックへの橋渡しをすることができます。



オフハンド：

1. 定理-パレート分布-ゼータ関数-ジョンダービーシャー。 プライム・オブセッション：ベルンハルト・リーマンと数学の最大の未解決問題
2. 偏微分差分を解くための数値的方法。 （ところで-上級生向けのタスク：「通常のレース」の範囲のP（L、i）が方程式の特定の解に近いことを示す 適切なスケールで、「加速を伴うレース」の範囲で-方程式
3. 問題の残差関数の最適なタイプの選択。

また、このタスクにいくつかの拡張機能を追加することもできます。 たとえば、次のとおりです。



1）シーズンが終了すると、前のシーズンで特定のレベルに達したプレーヤーは有利なスタートを切ります。 たとえば、レベル4のシーズンの終わりに、プレーヤーは21の「星」を受け取ります。 レベル25からではなく、レベル17から新しいシーズンに始まります。**-21番目の序数サブレベルでもあります（図1を参照）。 ハンディキャップのサイズの達成レベルへの依存を表す対応する数字は、ネットワーク上で簡単に見つけられると確信しています。



質問：

1. シーズン開始時のハンディキャップを考慮すると、P（L、i）およびD（L、N）はどのように変化しますか？
2. 一連のD関数（L、N、シーズン番号）は、シーズン番号が∞になる傾向があるものに収束しますか？ もしそうなら、これはZ（i、N）にどのような制限を課しますか？
3. Z（i、N）は2番目の質問に正しく答えるのに十分ですか？

2）関数Z（i、N）を計算するためのわかりやすい理論を考え出す。