「カオス」といえば、通常、完全な秩序の欠如、絶対的な無秩序、ランダム性を意味します。 数学的な観点から見ると、カオスと秩序は相互に排他的な概念ではありません。 カオス理論（数学理論の名前には興味深いものがあります）はかなり若い数学分野であり、その創造は20世紀の発見と量子力学の創造の重要性と同一視されています。 カオスは非線形力学系で発生します。 言い換えれば、時間の経過とともに発生するプロセスは混oticとしている可能性があります（たとえば、木の高さ、体温、マダガスカルゴキブリの個体数など）。
カオスとは何かを理解するために、まず、そのような機能を備えていないシステムに目を向けます。 決定論的なシステムでは、事故は発生しません。出力の値は、入力の値によって完全に決定されます。 したがって、初期条件の変化により、結果に比例した変化が生じます。 したがって、ニュートン力学は決定論を暗示しており、たとえば、ボールを蹴る強さを変えることにより、このボールの飛行時間の対応する変化が期待できます。 したがって、決定論の原理によれば、現在の瞬間のボールの位置は、前の瞬間のボールの位置によって完全に決定され、将来の位置は現在のボールに依存し、すべて非常に簡単に計算できます。 そのため、過去の天文学者はこの原理を完全に信頼し、宇宙は厳密に決定されたシステムであり、将来（および過去）の天体の位置は、現在の位置と速度、つまり 初期条件を知る。 初期条件がより正確に知られているほど、予測結果はより正確になると想定されていましたが、有名な数学者アンリ・ポアンカレは、おそらく彼の空き時間に天体の軌道を記述し、3体以上のシステムでわずかに初期条件（位置と速度）の変化、体の軌跡は非常に迅速にお互いから削除されます。 初期条件の2つの近いセットでは、異なる結果が得られました。
気象学者のエドワード・ローレンツはカオス理論に多大な貢献をしました。 前世紀の60年代に、このアメリカ人は地球の大気中の気団の動きをシミュレートするコンピュータープログラムに取り組みました。 私たちは皆、コンピューター（一般的な噂に反して）は厳密に決定論的なシステムであることを知っており、これは「ゴミ出しのゴミ」というよく知られた原理を作り出します。 ローレンツはプログラムを尾とたてがみで運転し、あらゆる種類の異なる結果を得ました。 彼の同僚の何人かは、このモデルが天気の正確な予測因子であるとさえ仮定し、明日傘を取るかどうか尋ねました。 もちろん、これらの結論は急いでいたため、気象モデルの1つの特徴がすぐに明らかになりました。 計算を高速化するために、ローレンツは最初にプログラムを起動しませんでしたが、紙に印刷された前回の「実行」からのデータを入力しました。 しかし、そのような打ち上げの結果は、すでに受け取ったものからすぐに逸脱し始め、完全に異なる状況を形成しました。 少し予想外ですよね？ ローレンツは過去の計算の正確な結果を導入せず、印刷前に丸めたため、このエラーは単に無視されたことが判明しました。 ローレンツモデルは、初期条件に過敏であることが判明しました。 入力データのわずかな違いが、結果の経時的な大きな不一致をもたらしました。 この初期条件への依存は、カオスと呼ばれていました。 ローレンツは、「蝶の効果」と呼ばれる有名な混chaosの特性を表明しました。これは、蝶がブラジルの森林で羽ばたくかどうかによって、テキサスでハリケーンが発生するかどうかに依存することを示唆しています。 同じ原理は、アシュトン・カッチャーと同じ名前の映画の基礎でした（非科学的な映画、見る必要はありません）。
再計算偏差
この初期条件への依存はすべて、不安定な動的システムでは長期的な予測ができないことを示唆しています。 初期条件に誤りがあると、長期間にわたって結果を予測することはできません。 たとえば、ローレンツモデルを使用する場合、風速を決定するための入力として、地球の大気の各ポイントの温度と圧力を入力する必要があります。その場合のみ、信頼性の高い予測が長期間にわたって期待できます。 さらに、入力データは完全に正確でなければなりません。つまり、小数点以下の桁数は無限でなければなりません。 そしてご存じのように、地球上のすべての測定デバイスには、ゼロ以外のエラーが絶対にあります。 数量をどれだけ正確に測定しても、（理論的には）より正確に測定することは常に可能です。 はい、無限の小数点以下の桁数を入力できるマシンはありません。 量子コンピューターの出現により、何かが変わるかもしれませんが、わかりません。
したがって、カオスからの逃避はなく、我慢する必要があることがわかります。 しかし、私の意見では、すべてがそれほど悪いわけではありません。 宇宙のすべてのプロセスが完全に決定的であり、偶然のヒントが1つもない場合、人生はもっと退屈です。 一部の科学者は、カオスが宇宙に「時間の矢」、過去から未来への指示された不可逆的な動きを与えるという考えにさえ傾いています。
ただし、「カオス」と「ランダム性」は完全に同等の概念ではありません。 ランダムに見えるプロセスの特定の解釈は、それらを整理します。 たとえば、人が身体活動の対象ではない場合でも、人の心拍間の時間は可変です。 ハートビートをしばらく観察し、テーブル内のビート間の間隔を記述し、2番目の列を作成し、最初の列から値をコピーしますが、1つの値だけシフトします（つまり、2番目の次元は最初の列の最初の次元（t）に対応します） （t + 1）2番目、2番目-3番目など;）では、垂直方向にシフトなしの値（t）があり、水平方向にシフトありの値（t + 1）があるマップを作成できます。 このマップ上のポイントはランダムに散らばることはありませんが、特定のエリアに引き付けられ、アトラクタを形成します。
カオス系の一般的な例は、二重振り子です。 振り子の端に2番目の振り子が取り付けられています。 ギフトショップで同様の振り子を見たことがあるかもしれません。 したがって、2つの同一の振り子を取り、それらを並べて配置し、ほぼ同じ量だけ拒否すると、数回振動した後、振り子は完全に同期しなくなります。 初期条件をより正確に観察すればするほど、振り子はビートまで長く振れますが、発散から逃れることはできません。
そのようなパターンは、アーティストのジョージ・イオアニディスによる二重振り子の電球によって描かれています
長い間、カオス理論は一種の数学的抽象化であると考えられていたが、実際の状況では確認されていない。 この問題はレオン・チュアという名前の日本人を心配させました。彼は混が作り出されることを示すことを目指していました。 この目的のために、彼は電気回路を組み立てました。
Chua回路は、カオス信号を生成できる最初の電気回路でした。 彼の創造は素晴らしく、その回路は4つの線形要素で構成されていました：2つのコンデンサ、1つのインダクタンス、抵抗器、および1つの非線形局所活性要素を含み、その区分的線形電圧電流特性には負の抵抗を持つ領域がありました。 この要素は現在、しばしばチュアダイオードと呼ばれています。 回路はジェネレーターであり、Chuaダイオードはカオス発振を実現するために必要な部品です。 このアイテムは個別のコンポーネントとしては使用できませんが、2つのオペアンプを使用して簡単に組み立てることができます。 この非線形性を実装する他の方法には、逆並列接続されたインバーターペアまたはトンネルダイオードが含まれます（トンネルダイオードはまだ別のコンポーネントとして利用できるようです）。ご存知のように、CVCには「谷」があります。
一般化されたチュアジェネレータ回路とそれを記述する方程式
このすべての背後にある数学は非常に複雑ですが、ジャングルに入らない場合、この回路は3つの微分方程式で記述され、2つのコンデンサの電圧とインダクタンスを流れる電流の時間変化を示します。 これらの方程式の数値解は、回路のコンポーネント間の特定の関係について、時間の変数の値の変化がカオスになることを示しています。
Chua発電機を組み立てることは難しくありません。 このチェーンは、分岐やカオスアトラクターなどのカオス現象を示すことができます。 ただし、これらすべての奇跡を観察するには、オシロスコープが必要であり、2つの入力が必要です。 クラシックバージョンでは、回路は2つのコンデンサ、1つのインダクタンス、7つの抵抗、1組のオペアンプと2つの9Vバッテリーを備えたマイクロ回路で構成されます（電源は使用できますが、電源はバイポーラでなければなりません）。 混behaviorとした動作を実現するには、要素値間で特定の比率を観察する必要があります。 したがって、コンデンサC2の静電容量は約10静電容量C1である必要があり、C2 / C1の比率はαと呼ばれます。 係数βは、R、C2、およびLの間の関係、すなわちβ= R ^ 2 C2 / Lを示し、約15でなければなりません。
オペアンプに負性抵抗がある発電機の概略図
それでは、アセンブリを開始しましょう。 ブレッドボード上で組み立てることもできますが、信号を明確にするために、プリント回路基板上のコンポーネントをはんだ付けすることをお勧めします。 私のアセンブリでは、47nFと470nFのコンデンサ、15mHのインダクタンス、1kΩのポテンショメータを使用しました（2kΩの公称値がないため、1kΩの抵抗器と直列に接続しました）。 インダクタンスと直列に、（必ずしもそうではないが）信号に「美しさ」を加えるために小さな抵抗（最大10オーム）を含めることができます。 Chuaダイオードは、2つのオペアンプを使用して標準的な方法で実装されます。 TL082CPチップを使用しました。仕様によると、広帯域オペアンプです。このタイプを使用することをお勧めします。アナログが単純なため、回路は起動しませんでした。 必要な勾配で特性を作成するには、次の抵抗定格が必要です：R1 = R2 =220Ω、R3 =2.2kΩ、R4 = R5 =22kΩ、R6 =3.3kΩ。 オペアンプは、2つの9Vバッテリーで駆動できます。オペアンプを正しく動作させるには、バイポーラ電源が必要です。 私のアセンブリは不器用です、私は同意します-電源配線とねじれた抵抗器、その他の小さな欠陥ですが、これはカオス信号を監視するのに十分でした。
次のプロジェクトのために残りのボードを保存します
この単純な回路を注意深く組み立てた後、どのような信号が生成されるかを確認できます。 コンデンサC1とC2から信号を取得します。 私の回路では、回路をオシロスコープに接続しやすいように、2つのBNCコネクタを作成しました。 ケーブルをオシロスコープに接続し、XYモードを選択します。一方の軸で最初のコンデンサに電圧がかかり、もう一方の軸で2番目のコンデンサに電圧がかかる場合。 Xに何を出力し、Yに何を出力するかは重要ではありません。 ポテンショメーターのハンドルを最大値まで緩めて、回路に送ります。 オシロスコープ画面にドットが表示されます。 抵抗値をゆっくりと下げて（抵抗のスムーズな変化を確実にするために、ストロークが大きく、ハンドルが大きいポテンショメータを使用することをお勧めします）、ある時点でポイントが軌道になります。 その後の抵抗の減少は、この軌道の分岐につながり、分岐を観察し始めます。 軌道の周期が2倍になると抵抗が減少し続け、後続の分岐点間の距離は絶えず確実に減少します。 つまり 4倍軌道と8倍軌道の抵抗の差は、4倍軌道と2倍軌道の差よりも小さくなります。 分岐間の間隔が減少する割合は、ファイゲンバウム定数によって決定されます。 分岐点を観察できるようになるまでの期間は、信号の明瞭度（つまり、接続の品質）とポテンショメーターの感度（ハンドシェイクも良好ではありません）に依存します。 ある時点で、安定した軌道はカオスの始まりを示す2ループアトラクタに変わります。 このアトラクタには3つの平衡点があります。1つは原点にあり、2つはループの「穴」にあります。 アトラクタの一般的な軌道は、「穴」の1つを中心に回転し始め、各ターンで平衡点から遠ざかります。その後、軌道は中心近くに戻り、再び遠ざかるか、プロセスが繰り返される別の平衡点に進みます。 それぞれの場合の回転数はランダムです。
分岐によるカオス
このアトラクタは特定の抵抗間隔に存在し、高調波振動を示す安定した軌道に道を譲ります。 抵抗値が十分に小さいと、回路はコンデンサとインダクタンスの値によって決まる周波数の正弦波信号を生成する単純な振動回路に変わります。 回路の「柔軟性」を高めるために、ポテンショメータは負性抵抗回路の抵抗を置き換えることができます。
信号のスペクトルを見ると、カオスモードでは、レージングバンドが十分に広く、顕著なピークがなく、一定の成分から始まっていることがわかります。
カオス信号スペクトル
このスキームは非常に単純ですが、その動作はカオスの理論に取り組む多くの科学者によって研究されています。 その助けにより、分岐点が研究され、さまざまなアトラクタのギャラリー全体が作成されました。 ただし、純粋に科学的な関心に加えて、このスキームには実用的な用途があります。
これはジェネレーターであるため、無線通信に使用できることを意味し、このジェネレーターは珍しいため、無線通信を安全にすることができます。 情報信号の単純なマスキングから高レベルのデジタル変調まで、カオス信号の変調にはいくつかのタイプがあります。 カオス発生器の高感度により、弱い信号の検出器として使用できます。 このスキームに基づいた乱数ジェネレーターの作成についても報告されました。 さらに、お気づきのように、このジェネレーターのスペクトルは音の範囲内にあるため、概念的なミュージシャンはこのスキームを活用することに失敗しませんでした。
このカオスジェネレーターを実際に使用するだけでは十分ではないため、どのくらいの人がこのカオスジェネレーターを組み立てたいのかはわかりませんが、オシロスコープで遊んで面白いパターンを観察する機会は、これらのペニーの詳細と30分に値するように思えます。 店ですべてのコンポーネントを個別に購入したとしても、200ルーブルが最高額ですが、多くの人がzashnikにすべての詳細を持っていると確信しています！
このスキームは、数学および電気工学科の学生にとって興味深いものです。 Chuaジェネレーターの動作を実証することで、カオス理論を含む科学的関心を持つ教師に興味を持たせることができると思います。 ご清聴ありがとうございました！