एक संयोजन पीढ़ी एल्गोरिथ्म

संयोजन के रूप में हाई स्कूल में, नियम के रूप में, पाठ समस्याओं तक सीमित है जिसमें आपको संयोजन, क्रमपरिवर्तन या प्लेसमेंट की संख्या के लिए तीन प्रसिद्ध सूत्रों में से एक को लागू करने की आवश्यकता होती है। असतत गणित में संस्थान के पाठ्यक्रमों में वे अधिक जटिल दहनशील वस्तुओं के बारे में भी बात करते हैं - ब्रैकेट अनुक्रम, पेड़, रेखांकन ... इस मामले में, एक नियम के रूप में, वे एक निश्चित प्रकार की वस्तुओं की संख्या की गणना करने का कार्य निर्धारित करते हैं, उदाहरण के लिए, n कोने पर पेड़ों की संख्या। निश्चित n के लिए वस्तुओं की संख्या जानने के बाद, एक और अधिक जटिल प्रश्न पूछ सकता है: इन सभी वस्तुओं को उचित समय में कैसे प्रस्तुत किया जाए? इस तरह की समस्या को हल करने वाले एल्गोरिदम को कॉम्बिनेटरियल जेनरेशन एल्गोरिदम कहा जाता है। इस तरह के एल्गोरिदम, उदाहरण के लिए, डोनाल्ड नुथ द्वारा "द आर्ट ऑफ़ प्रोग्रामिंग" के चौथे खंड के पहले अध्याय के विषय हैं। नॉट सभी टुपल्स, संख्याओं, पेड़ों और अन्य संरचनाओं के विभाजन के निर्माण के लिए एल्गोरिदम पर विस्तार से विचार करता है। कुछ प्रकार के एल्गोरिथ्म के साथ आने के लिए जो इन कार्यों में से प्रत्येक के लिए मध्यम रूप से तेज़ काम करता है, मुश्किल नहीं है, लेकिन आगे अनुकूलन के साथ गंभीर समस्याएं पैदा हो सकती हैं।



एक मास्टर की थीसिस लिखने की प्रक्रिया में, अकादमिक विश्वविद्यालय में बचाव किया गया था, मुझे एक विशेष वर्ग की समस्याओं के लिए उपयुक्त दहनशील पीढ़ी के एल्गोरिदम का अध्ययन करने और लागू करने की आवश्यकता थी। यह संरचनाओं की पीढ़ी है जिस पर कुछ समानता संबंध अतिरिक्त रूप से पेश किए जाते हैं। यह स्पष्ट करने के लिए कि क्या दांव पर है, मैं एक सरल उदाहरण दूंगा। आइए षट्भुज के सभी त्रिकोणों को उत्पन्न करने का प्रयास करें। आपको ऐसा कुछ मिलता है:











एक एल्गोरिथ्म लिखना जो ऐसे सभी त्रिकोणीय रिटर्न देता है, बहुत सीधा है। उदाहरण के लिए, यह प्रक्रिया काम करेगी: हम कुछ किनारे को ठीक करते हैं (इसे 1-6 से किनारे करते हैं), जिसके बाद एक चक्र में हम उन छोरों के माध्यम से छंटाई करते हैं जो इसके छोर नहीं हैं। वर्तमान शीर्ष और निश्चित किनारे पर, हम एक त्रिकोण का निर्माण करते हैं, और शेष दो क्षेत्रों को पुनरावर्ती रूप से त्रिकोणित किया जाता है। यदि आप इस एल्गोरिथ्म के संचालन के परिणामस्वरूप होने वाली त्रिकोणीयताओं को करीब से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि उनमें से कई लगभग समान हैं और केवल इस बात में अंतर है कि शीर्षकों के लेबल (संख्याएं) कैसे व्यवस्थित होती हैं। इसलिए, यह एक एल्गोरिथ्म के साथ आने के लिए उपयोगी होगा जो तथाकथित गैर-सूचीबद्ध त्रिकोण उत्पन्न करेगा - जो निम्न आकृति में दिखाए गए हैं:













औपचारिक रूप से, वस्तुओं के हमारे सेट पर कुछ समानता के कार्य करते हैं, पूरे सेट को वस्तुओं के वर्गों में एक दूसरे से अलग करते हैं। प्रत्येक वर्ग से एक प्रतिनिधि उत्पन्न करना आवश्यक है। आपने शायद देखा कि दूसरे आंकड़े में दो सही त्रिकोण भी एक-दूसरे के समान हैं और उनमें से केवल एक को छोड़ा जा सकता है। हकीकत में, यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हमने किस तरह के समकक्ष संबंध को चुना है। यदि हम आइसोमॉर्फिक को केवल उन त्रिकोणों पर विचार करते हैं जो एक मोड़ के बाद एक-दूसरे पर आरोपित हो सकते हैं, तो उनमें से चार होंगे, और यदि आप फिर से षट्भुज को मोड़ने की अनुमति देते हैं, तो तीन।



ऐसा लगता है कि प्रत्येक वर्ग से एक प्रतिनिधि उत्पन्न करना मुश्किल नहीं है: हम सभी वस्तुओं को उत्पन्न करते हैं, जिसके बाद हम जोड़े में समरूपता के लिए परीक्षण करते हैं और डुप्लिकेट बाहर फेंकते हैं। दुर्भाग्य से, कुछ प्रकार की वस्तुओं के लिए यह छोटे एन के लिए भी लंबे समय तक काम करेगा। उदाहरण के लिए, दो ग्राफों की समरूपता की जाँच की समस्या को बहुपद समय में हल नहीं किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इस समस्या को हल करने वाले सबरूटिन को यथासंभव कम कॉल करना उचित है। प्रस्तावित भोले दृष्टिकोण का एक और ऋण यह है कि सभी वस्तुओं को एक ही समय में स्मृति में रखना होगा। उसी समय, यदि आप एक धीमे कार्यक्रम की प्रतीक्षा करते हैं जो सही उत्तर देता है, यह अभी भी सैद्धांतिक रूप से संभव है, तो एक उत्तर के बजाय स्मृति का अतिप्रवाह प्राप्त करना पहले से ही पूरी तरह से अस्वीकार्य है। तो, जोड़ीदार गैर-समसामयिक वस्तुओं को उत्पन्न करने के लिए, आपको कुछ अधिक मुश्किल तरीके का उपयोग करने की आवश्यकता है। इस पद्धति को कई विशिष्ट दहनशील वस्तुओं (रेखांकन, पेड़, विभाजन) के लिए बार-बार खोजा गया था, और सामान्य शब्दों में इसोमॉर्फ-फ्री एक्स्ट्रक्टिव जनरेशन लेख में वर्णित किया गया था।



मैं इस पद्धति के बारे में एक समस्या के उदाहरण के रूप में बात करूंगा जो कि त्रिकोणीय समस्या की तुलना में कुछ अधिक सामान्य है: हम सभी "विच्छेदन" उत्पन्न करेंगे, अर्थात्, बहुभुज को त्रिकोण में विभाजित करने के तरीके नहीं, बल्कि इनपुट से खिलाए गए सूची से पक्षों की संख्या के साथ बहुभुज में। कार्यक्रम।



इस विधि का वर्णन करने के लिए, कई औपचारिक परिभाषाओं की आवश्यकता होती है।



एक्स को "संरचनाओं" के कुछ सेट होने दें। सेट X के तत्वों को लेबल वाली वस्तुएं कहा जाएगा। हमारी समस्या में, चिह्नित वस्तुएं विघटित होती हैं, जिनके कोने वामावर्त रूप से गिने जाते हैं। चिह्नित वर्गों के लिए डेटा संरचना सरल है - ये आसन्न सूची हैं:

public class Dissection { private int[][] adjacent; ... }
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

G को सेट X पर कुछ क्रमचय समूह अभिनय करते हैं। इसका अर्थ है कि X से प्रत्येक लेबल की गई वस्तु X और समूह G के प्रत्येक तत्व g को किसी अन्य लेबल ऑब्जेक्ट y = g * x के साथ जोड़ा जाता है, और निम्नलिखित गुण पूरे होते हैं:

1. समूह h और g के किसी भी तत्व का गुणन क्रियाओं के क्रमिक अनुप्रयोग से संबंधित है x: h * (g * x) = (hg) * x।
2. समूह e की इकाई प्रत्येक चिह्नित ऑब्जेक्ट x को स्वयं में अनुवादित करती है: e * x = x।

यह दिखाया जा सकता है कि पूरे सेट X को एक सापेक्ष संबंध की समकक्षता वर्गों में विभाजित किया गया है: x और y समतुल्य हैं यदि x = g * y। त्रिकोणासन के साथ हमारे पहले उदाहरण में, समूह के तत्व - 0, 60, 120, 180, 240, और 300 डिग्री के घूर्णन - पूरे सेट को चार समतुल्य वर्गों में विभाजित करते हैं, जिनमें से तत्व उनकी संरचना में बिल्कुल भिन्न होते हैं और मौखिक अंकन में नहीं। इन समानता वर्गों को दूसरे आंकड़े में दर्शाया गया था। हम इन कक्षाओं को गैर-सूचीबद्ध वस्तुएँ कहेंगे।



एक्स के प्रत्येक तत्व के लिए हम एक प्राकृतिक संख्या को जोड़ते हैं, जिसे हम ऑर्डर कहेंगे। सभी समतुल्य वस्तुओं का क्रम समान होना चाहिए। यह संपत्ति आपको समतुल्यता वर्गों (गैर-सूचीबद्ध वस्तुओं) के लिए ऑर्डर को फिर से परिभाषित करने की अनुमति देती है: यह संबंधित वर्ग के किसी भी प्रतिनिधि के आदेश के बराबर होगा। आकृति में हमारे उदाहरण के लिए, बहुभुज में क्रम संख्या की संख्या है। चित्र में सभी अनलिस्टेड ऑब्जेक्ट के लिए, यह छह है।



ये काफी सामान्य परिभाषाएँ थीं। अब भविष्य की एल्गोरिथ्म के लिए विशिष्ट परिभाषाओं पर चलते हैं। प्रत्येक चिह्नित ऑब्जेक्ट x के लिए हम दो सेटों को जोड़ते हैं - निचली वस्तुओं का सेट L (x) और ऊपरी ऑब्जेक्ट्स का सेट U (x)। इन सेटों में तत्वों के क्रम x के क्रम के बराबर परिभाषा के अनुसार हैं। निचले और ऊपरी वस्तुओं के लिए औपचारिक आवश्यकताएं देने से पहले, मैं एक सहज विवरण देने की कोशिश करूंगा। प्रत्येक निचली वस्तु में यह जानकारी होनी चाहिए कि वर्तमान वस्तु से किसी निचले क्रम की वस्तु तक कैसे पहुंचना है। उदाहरण के लिए, एक कम विच्छेदन वस्तु एक विच्छेदन है जिसमें "चरम" बहुभुज में से एक को अतिरिक्त रूप से हाइलाइट किया जाता है (उदाहरण के लिए, लाल चित्रित), जिसे इस विच्छेदन से काटा जा सकता है। ऊपरी ऑब्जेक्ट, इसके विपरीत, चिह्नित ऑब्जेक्ट प्लस जानकारी है, जो इसे एक अस्पष्ट तरीके से "बढ़ने" की अनुमति देता है, जिससे ऑर्डर बढ़ जाता है। एक ऊपरी विच्छेदन, उदाहरण के लिए, एक विच्छेदन है जिसमें बहुभुज के किनारों में से एक को अतिरिक्त रूप से हाइलाइट किया जाता है (उदाहरण के लिए, चित्रित लाल) और उस पर एक नंबर लिखा जाता है। इस तरह के विच्छेदन को देखते हुए, हम समझ सकते हैं कि ऑर्डर को बढ़ाने के लिए नए बहुभुज को किस तरफ छड़ी करना है। चिपके बहुभुज के किनारों की संख्या किनारे पर लिखी संख्या से निर्धारित की जाएगी। इस विचार को निम्न आकृति द्वारा चित्रित किया जा सकता है, दो वस्तुओं का चित्रण - निम्न और ऊपरी, एक ही विच्छेदन के अनुरूप।











कार्यक्रम में निम्न और ऊपरी वर्गों को निम्नानुसार प्रस्तुत किया गया है:

 public class LowerDissection { private Dissection dissection; private int after; ... }
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

 public class UpperDissection { private Dissection dissection; private int after, size; ... }
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

नीचे की कटौती के लिए, हम केवल उस शीर्ष संख्या को संग्रहीत करते हैं जिस पर हम जिस बहुभुज को हटाने जा रहे हैं वह शुरू होता है। ऊपरी अनुभाग के लिए, शीर्ष संख्या संग्रहीत है, जिसके बाद एक नया बहुभुज, साथ ही इसके पक्षों की संख्या को गोंद करना आवश्यक होगा।



आप देख सकते हैं कि कुछ निचले और ऊपरी ऑब्जेक्ट एक "मिलान" रिश्ते में हैं: निचली वस्तु ऊपरी एक से मेल खाती है, प्राप्त करने के बाद हमने आदेश को कम वस्तु में एन्कोडेड तरीके से कम कर दिया है।











यहां, निचले ऑब्जेक्ट को ऊपरी एक पर मैप किया जाता है, चयनित क्वाड को हटाने का परिणाम है। निम्नलिखित आकृति में, यह चारों ओर का दूसरा तरीका है: एक पेंटागन ऊपरी वस्तु से चिपके हुए है, या इसके बजाय, उस पर लिखे गए पांच के साथ अपने चयनित किनारे पर। यह एक कम ऑब्जेक्ट के परिणामस्वरूप होता है जो ऑपरेशन को वापस रोल करने के तरीके के बारे में जानकारी संग्रहीत करता है।











अब औपचारिक रूप से, उपरोक्त संरचनाओं से क्या आवश्यक होना चाहिए:

1. समूह जी तीन प्रकार की वस्तुओं पर कार्य करता है: लेबल किए गए, ऊपरी और निचले। इन तीन सेटों में से प्रत्येक समूह की कार्रवाई के सापेक्ष बंद है (इसका मतलब है कि, उदाहरण के लिए, समूह के एक तत्व द्वारा कम वस्तु पर कार्य किया जाता है, ऊपरी एक - बल्कि एक औपचारिक आवश्यकता प्राप्त करना असंभव है)।
2. प्रत्येक चिह्नित ऑब्जेक्ट x और समूह g के एक तत्व के लिए: L (g * x) = g * L (x); यू (जी * एक्स) = जी * यू (एक्स) (नोटेशन जी * एल (एक्स)) का अर्थ है कि हम सेट एल (एक्स) के प्रत्येक तत्व के लिए जी लागू करते हैं, इसी तरह जी * यू (एक्स) के लिए)।
3. प्रत्येक निम्न ऑब्जेक्ट y के लिए, ऊपरी ऑब्जेक्ट्स का संबंधित सेट खाली नहीं है।
4. यदि दो निम्न वस्तुएं y और x समतुल्य हैं (अर्थात, y = g * x), तो उनके अनुरूप कोई भी दो ऊपरी वस्तुएं भी समतुल्य हैं।
5. यदि दो ऊपरी वस्तुएं y और x समतुल्य हैं, तो उनसे संबंधित कोई भी दो निम्न वस्तुएं भी समतुल्य हैं।
6. निचली वस्तु का क्रम किसी भी ऊपरी ऊपरी के क्रम से अधिक होता है।

इस अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, मेरा सुझाव है कि आप पढ़ने से पछतावा करने के लिए एक क्षण लें और यह सोचें कि निचली और ऊपरी वस्तुएं ऐसी दिखेंगी जैसे कि आप सेट एक्स के रूप में त्रिभुज के बिना ग्राफ़ लेते हैं (अर्थात, उन ग्राफ़ जिनमें कोई तीन कोने एक ही समय में किनारों से नहीं जुड़े हैं) )।







चलिए जारी रखते हैं। कुछ अनलिखित वस्तु से काटे नहीं जाने दें। इस प्रकार, इसके नीचे (या बल्कि, इसके चिह्नित वस्तुओं के अनुरूप) कोई कम वस्तु नहीं हैं। ऐसी वस्तु को इरेड्यूसबल कहा जाता है। हमारे मामले में, एक एकल बहुभुज से युक्त कट्स अप्रासंगिक हैं। बाकी सभी लोग reducible हैं ।



हमारा एल्गोरिदम क्रमिक रूप से सभी गैर-आइसोमॉर्फिक कटौती उत्पन्न करेगा, जो इरेड्यूसबल के साथ शुरू होता है, धीरे-धीरे उनके क्रम को बढ़ाता है। ऐसा करने के लिए, हम सभी संभावित पक्षों से सभी संभावित बहुभुज वर्तमान अनुभाग से चिपके रहेंगे। हालाँकि, समस्या यह है कि आप एक ही विच्छेदन में कई तरीकों से आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, अष्टकोण को काटने के लिए, जो पिछली दो तस्वीरों में निचली वस्तु के अनुरूप था, आप एक चतुष्कोण को एक त्रिभुज और फिर एक पंचकोण पर नज़र रखकर आ सकते हैं, या आप इसके विपरीत, एक त्रिकोण और एक चतुर्भुज को पंचकोण में देख सकते हैं। इस प्रकार, कई बार एक ही विच्छेदन उत्पन्न करना संभव हो जाता है, और इसे नोटिस भी नहीं करता है। यह वही है जिससे आप बचना चाहते हैं।



एक नई कटौती उत्पन्न करके इस समस्या को हल करने के लिए, हम जांच करेंगे कि क्या बहुभुज का अंतिम जोड़ इस कट के निर्माण के कुछ अनूठे विहित तरीके के लिए सही है। ऐसा करने के लिए, हमें फ़ंक्शन P की आवश्यकता है, जो प्रत्येक चिह्नित ऑब्जेक्ट के साथ निचली वस्तुओं के सेट को जोड़ता है, जिसके लिए यह "वंशज" है। फ़ंक्शन P को निम्न आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए:

1. यदि L (x) खाली है, तो P (x) भी खाली है।
2. यदि L (x) खाली नहीं है, तो P (x) में ऐसी और केवल ऐसी निचली वस्तुएं होती हैं, जो ऑब्जेक्ट x के अनुरूप होती हैं, जैसे कि उनमें से कोई भी दो तत्व एक-दूसरे में कुछ तत्व g की क्रिया के तहत परिवर्तित होते हैं, जिसके लिए g * x = x।
3. किसी भी अनलिस्टेड ऑब्जेक्ट x और ग्रुप g के एक तत्व के लिए: g * P (x) = P (g * x)।

यह दूसरी आवश्यकता पर विशेष ध्यान देने योग्य है: यह, वास्तव में, इसका मतलब है कि सेट पी (एक्स) में कई ऑब्जेक्ट शामिल होने चाहिए जो ऑब्जेक्ट एक्स के समरूपता के संबंध में समान हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कट x सममित है, जिसमें केवल 0 और 180 डिग्री के घूर्णन होते हैं। तब P (x) को ऐसे घुमावों की सहायता से एक दूसरे से प्राप्त की जाने वाली दो निचली वस्तुओं से युक्त होना चाहिए।



आइए हमारे उदाहरण में सामान्य आवश्यकता को पूरा करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, एक्स के कुछ कट लें और सभी एन तरीकों से इसमें निशान के माध्यम से स्क्रॉल करें (एन वर्टिस की संख्या है)। हर बार, जब "चरम" बहुभुज कोने 1 और 2 से शुरू होता है (जैसे कि इसे काट दिया जा सकता है), हम इस संख्या को याद रखेंगे। उसके बाद, वर्टेक्स नंबरिंग के पूरे चयनित उप-नंबरिंग में से, हम उन लोगों को चुनते हैं जो आसन्न सूचियों के लेक्सियोग्राफिक रूप से न्यूनतम (कोई अन्य उचित आदेश उपयुक्त है) प्रविष्टि देते हैं। ये संख्याएँ हमें मूल वस्तु x पर कुछ बहुभुज प्रदान करती हैं - वे, जो संगत संख्या के साथ 1 और 2 से शुरू होती हैं। P (x) में x के लिए निम्न वस्तुएँ होती हैं जिसमें ये बहुभुज लाल रंग के होते हैं। यहाँ आप एक तस्वीर के बिना नहीं कर सकते:











इसलिए, हमने बाईं ओर दिखाए गए विच्छेदन x को चुना, और आठ अलग-अलग तरीकों से निशान को फिर से व्यवस्थित किया। विधियां ए, सी, ई, और जी हमें तुरंत सूट नहीं करती हैं: कोने पर 1,2, ..., i, एक बहुभुज जिसे काटा जा सकता है उसका निर्माण नहीं किया जाता है। यह देखा जा सकता है कि विधियां बी और एफ अनिवार्य रूप से समान हैं, जैसे विधियां डी और एच हैं। इन चार विधियों में से, हम एक अर्थ में, "न्यूनतम" का चयन करते हैं। जैसा कि हमने पहले ही देखा है, आप जैसा चाहें न्यूनतम निर्धारित करना संभव है, लेकिन निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, आसन्न सूचियों का न्यूनतम lexicographically उपयुक्त रिकॉर्ड उपयुक्त है। इस मामले में, तरीके बी और एफ जीतते हैं। यह विधि हमें मूल चिह्नित ऑब्जेक्ट x पर 2,3,4 और 6,7,8 से त्रिकोण प्रदान करती है। नतीजतन, हमें दाईं ओर आकृति में दिखाए गए दो निचले ऑब्जेक्ट मिलते हैं।



पी फ़ंक्शन तेजी से पीढ़ी के लिए सबसे महत्वपूर्ण है। यह बहुत मुश्किल है, वास्तव में, निर्दिष्ट आवश्यकताओं को पूरा करने और काम की उच्च गति बनाए रखने के लिए। जैसा कि आप देख सकते हैं, फ़ंक्शन पी, एक अर्थ में, आपको यह निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है कि चरम बहुभुज को "काट" करने के कौन-से तरीके हैं, जो आइसोमॉर्फिज़्म तक, विहित है। यदि अवधारणा स्पष्ट है, तो मैं आपको सुझाव देता हूं कि त्रिकोण के बिना पहले से उल्लेख किए गए ग्राफ़ के लिए फ़ंक्शन पी (x) कैसे काम करना चाहिए।







कोड जो ऊपर वर्णित वर्गों के तरीकों को जोड़ता है, ऊपर सूचीबद्ध सभी कार्यों को लागू करता है, रिपॉजिटरी में सबसे अच्छा देखा जाता है : इसमें बहुत सारे तकनीकी विवरण हैं विस्तार से चर्चा करने के लिए।



अब सब कुछ सीधे पीढ़ी के एल्गोरिदम का वर्णन करने के लिए तैयार है। यह प्रत्येक इरेड्यूबल कट के लिए चलेगा। वर्तमान विच्छेदन के लिए, हम एक ऊपरी ऑब्जेक्ट बनाने के लिए सभी गैर-आइसोमॉर्फिक तरीकों पर विचार करते हैं, और फिर हम क्रम में वृद्धि के साथ प्रत्येक प्राप्त ऊपरी ऑब्जेक्ट को निचले एक तक विस्तारित करते हैं। अगला, P फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए, हम यह सुनिश्चित करने के लिए प्रत्येक निचले ऑब्जेक्ट की जांच करते हैं कि यह वास्तव में संबंधित चिह्नित ऑब्जेक्ट का माता-पिता है। यदि यह चेक पास हो जाता है, तो हम मानते हैं कि यह चिह्नित वस्तु एक नए तुल्यता वर्ग का प्रतिनिधि है; इसके लिए एल्गोरिदम को पुनरावर्ती रूप से चलाएं। आप निश्चित रूप से, इस एल्गोरिथ्म की शुद्धता को साबित कर सकते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि मैंने पहले ही औपचारिकता को थोड़ा बढ़ा दिया है, और सबूत से निपटने के लिए, मूल लेख को संदर्भित करना आसान है।



पहले बेहतर, आइए कोड को उत्पन्न करने के लिए जिम्मेदार देखें:

 public static void generateSubtreeFrom(Dissection root, int maxOrder) { for (UpperDissection upper : root.createAllUpper()) { LowerDissection lower = upper.createArbitraryLower(); if (lower != null) { Dissection probableChild = lower.getUnderlyingDissection(); if (probableChild.getOrder() <= maxOrder && lower.isParentFor(probableChild)) { root.addChild(probableChild); generateSubtreeFrom(probableChild, maxOrder); } } } }
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

और अब - सभी गैर-आइसोमोर्फिक कटौती की पीढ़ी के परिणाम पर 3.4 और 5-गोंन्स में, आठ के क्रम तक। तीर माता-पिता से लेकर वंशजों तक को निर्देशित किया जाता है। यह देखा जा सकता है कि सभी कटे हुए पेड़ हैं जिनकी जड़ें अप्रासंगिक वस्तुएं हैं।









इस ड्राइंग को बनाने वाले प्रोग्राम का स्रोत कोड Google कोड पर उपलब्ध है। उसके काम का नतीजा ग्राफविज़ प्रारूप में वर्णन है।



अंत में, मुझे लगता है कि माना समस्या के लिए, आप सिद्धांत रूप में, एक सरल और एक ही समय में तेजी से एल्गोरिथ्म के साथ आ सकते हैं। हालांकि, वर्णित प्रक्रिया लगभग सभी प्रकार के दहनशील वस्तुओं पर लागू होती है जो संरचना को "निर्माण" कर सकती है। इसके अलावा, कुछ प्रकार के रेखांकन के लिए, कम से कम, एल्गोरिथ्म के लेखक के अनुसार, यह दृष्टिकोण कुछ सबसे अच्छा देता है, अगर आज सबसे अच्छा नहीं, पीढ़ी की गति।