व्यवसाय में काल्पनिक मूल्यों के उपयोग के लिए, वे पहले से ही एक पुरस्कार दे चुके हैं । अब दोहरे से कुछ लेना दिलचस्प है।

दोहरी संख्या a + andb के रूप में वास्तविक संख्याओं (या किसी अन्य, उदाहरण के लिए जटिल) के क्षेत्र का एक विस्तार है, जहां a और b मूल फ़ील्ड से संख्याएँ हैं। यह माना जाता है कि ε ε = 0 ।

यह पता चला है कि इस तरह के अजीब नंबरों में एक व्यावहारिक अनुप्रयोग है।



दोहरी संख्याओं का मुख्य उपयोगी गुण है

f (a + (b) = f (a) +'f '(a) b ।

जब हमारे पास f (x) का सूत्र है, तो व्युत्पन्न f '(x) प्राप्त करना आसान है। लेकिन अक्सर एफ (एक्स) केवल एक एल्गोरिथ्म के रूप में उपलब्ध है - उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की विशेष रूप से बनाई गई प्रणाली के समाधान के रूप में। प्रारंभिक डेटा के साथ एल्गोरिथ्म चलाकर जिसमें the जोड़ा जाता है, हम मापदंडों में से एक के संबंध में परिणाम और व्युत्पन्न के मूल्य प्राप्त करते हैं।

गणित का एक सा

औपचारिक रूप से, दोहरी संख्याएं केवल एक अंगूठी बनाती हैं, न कि एक क्षेत्र - जाहिर है, उनमें से शून्य विभाजक हैं। लेकिन अगर कुछ "अच्छी" समस्या को 0 से विभाजन के बिना वास्तविक संख्या में हल किया जाता है, तो इसे दोहरे में भी हल किया जाएगा। इसलिए, इस लेख के ढांचे के भीतर, हम गणितीय कठोरता की उपेक्षा करते हैं और दोहरी संख्या को एक क्षेत्र मानते हैं।



यह देखना आसान है कि not के गुणांक एक-दूसरे के साथ गुणा नहीं करते हैं - अर्थात, वे मूल क्षेत्र पर एक मनमाना मॉड्यूल (वेक्टर स्थान) से हो सकते हैं। इस मामले में, हम कई तर्कों के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न प्राप्त कर सकते हैं।



प्राइम डुअल नंबरों में एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है । हमारे सामान्यीकरण के लिए, मैट्रिक्स दो-विकर्ण में बदल जाता है, लेकिन आगे के संचालन के साथ यह एक त्रिकोणीय में बदल जाएगा। दूसरे विकर्ण के ऊपर गुणांक मापदंडों की बातचीत पर जानकारी ले जाता है - कुछ समस्याओं में यह महत्वपूर्ण जानकारी हो सकती है, लेकिन अब हम इसे अनदेखा करेंगे।

मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व इसमें दिलचस्प है कि रैखिक बीजगणित की समस्या में हम मूल संख्या के बजाय दोहरे के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व को "दर्ज" कर सकते हैं। मैंने इस दृष्टिकोण को गहराई से नहीं जाना है। मैं उस मामले में दिलचस्पी लेता हूं जब मापदंडों की संख्या समस्या के आयाम के साथ तुलनीय होती है, और इस मामले में, गणना की जटिलता बहुत जल्दी बढ़ती है। इस दृष्टिकोण का लाभ ऑफ-द-शेल्फ उच्च गुणवत्ता वाले रैखिक बीजगणित पुस्तकालयों का उपयोग करने की क्षमता है।

कार्यान्वयन

दुर्भाग्य से, BLAS और LAPACK पर आधारित मानक पुस्तकालय केवल वास्तविक या जटिल संख्याओं के साथ काम करते हैं। इसलिए, मैंने शुद्ध हास्केल में लिखी गई एक लाइब्रेरी की तलाश शुरू की - एक काफी सामान्य भाषा जिसमें विभिन्न अभ्यावेदन के साथ काम करना सामान्य माना जाता है। लेकिन निराशा ने मेरा इंतजार किया - फ्लोटिंग प्रकार वर्ग के साथ काम करने वाला एकमात्र पैकेज (यह स्पष्ट नहीं है कि फ्रैक्शनल क्यों नहीं है - रैखिक बीजगणित में साइन कोसिनों की वास्तव में आवश्यकता नहीं है) रेखीय निकला। और मेरे लिए सबसे दिलचस्प संचालन केवल 4x4 तक के आकारों के मैट्रिक्स के लिए इसमें लागू किया गया है।



प्रयोग के लिए, मैंने दोहरी संख्याओं और रैखिक समीकरणों के एक आदिम सॉल्वर का एक सरल कार्यान्वयन किया, जिसके बारे में मैं संक्षेप में बात करना चाहता हूं।

स्रोत कोड यहां उपलब्ध है ।



दोहरी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए डेटा प्रकार निम्नानुसार वर्णित है:

data GDual nv = !n :+- (vn)
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

इसके पैरामीटर स्रोत क्षेत्र के प्रतिनिधित्व के प्रकार और वेक्टर vector का प्रतिनिधित्व करने के लिए पैरामीटर कंटेनर हैं। यह स्पष्ट रूप से माना जाता है कि कंटेनर रैखिक पैकेज से Additive प्रकार वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है।



Num कार्यान्वयन बहुत गूंगा है:

 instance (Eq n, Num n, Additive v) => Num (GDual nv) where fromInteger x = (fromInteger x) :+- zero (x1 :+- y1) + (x2 :+- y2) = (x1 + x2) :+- (y1 ^+^ y2) (x1 :+- y1) - (x2 :+- y2) = (x1 - x2) :+- (y1 ^-^ y2) (x1 :+- y1) * (x2 :+- y2) = (x1 * x2) :+- ((y1 ^* x2) ^+^ (x1 *^ y2)) negate (x :+- y) = (negate x) :+- (y ^* (-1)) abs (a@(x :+- y)) = case (signum x) of 0 -> 0 :+- fmap abs y z -> ((z * x) :+- (x *^ y)) signum (x :+- y) = case (signum x) of 0 -> 0 :+- fmap signum y z -> z :+- zero
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

शून्य और ( 0: + - ... ) के पड़ोस में एब्स और साइनम के लिए टाइप क्लास में घोषित संबंध का उल्लंघन किया जाता है

 abs x * signum x == x
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

लेकिन अन्य बिंदुओं पर यह कायम है।

एब्स का कार्यान्वयन इसलिए किया जाता है ताकि रिलेशनशिप f (a + =b) = f (a) +'f ’(a) b जहां संभव हो, संरक्षित रहे।



आंशिक कार्यान्वयन:

 instance (Num (GDual nv), Fractional n, Additive v) => Fractional (GDual nv) where (x1 :+- y1) / (x2 :+- y2) = (x1 / x2) :+- ((y1 ^/ x2) ^-^ ((x1 / (x2 * x2)) *^ y2)) recip (x :+- y) = (recip x) :+- (y ^/ (x * x)) fromRational x = (fromRational x) :+- zero
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

डिवीजन पूरी तरह से पूर्ण नहीं है - यह शून्य के पड़ोस से संख्याओं से विभाजित नहीं कर सकता है, भले ही यह संभव हो (Additive प्रकार वर्ग इसके लिए आवश्यक कार्यक्षमता प्रदान नहीं करता है)। लेकिन मेरे आवेदन के क्षेत्र में ऐसा कोई विभाजन नहीं होना चाहिए - जब इस मामले में सामान्य संख्याओं की गणना की जाती है तो 0/0 विभाजन होगा।



फ्लोटिंग कार्यान्वयन, जो किसी कारण से रैखिक चाहता था, बेवकूफ है और मैं इसे नहीं लाऊंगा।

GDual भी निकटवर्ती विधि के साथ लाइनर से एप्सिलॉन प्रकार वर्ग को लागू करता है।

 Math.GDual.Demo.SimpleSparseSolver.solve :: (Fractional t1, Ord t, Epsilon t1) => [[(t, t1)]] -> [[(t, t1)]]
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करता है, जिसे एक आयताकार विरल मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। मैट्रिक्स गुणांक मैट्रिक्स का समतलन और दाहिने हाथ के स्तंभ है। प्राथमिक ऑपरेशन द्वारा हल मैट्रिक्स को पहचान की ओर ले जाता है - इस मामले में दाईं ओर एक उत्तर में बदल जाता है।

टिप्पणी

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मापदंडों में परिवर्तन या त्रुटियों के लिए फ़ंक्शन मान की संवेदनशीलता को दर्शाता है। लेकिन एक ही समय में, फ़ंक्शन की गणना करने की प्रक्रिया में गोल त्रुटियों को ध्यान में नहीं रखा जाता है। इन त्रुटियों को संख्याओं के एक और सामान्यीकरण द्वारा ध्यान में रखा जा सकता है: अंतराल अंकगणित