रिचर्ड फेनमैन ने जो चुनौती छोड़ी है

अद्भुत पुस्तक में "आप निश्चित रूप से, मजाक कर रहे हैं, मिस्टर फेनमैन!" एक एपिसोड है जिसने मुझे थोड़ा व्यावहारिक काम करने के लिए प्रेरित किया, जिसने इस लेख के निर्माण के लिए आधार के रूप में कार्य किया। यह सब इस क्षण से शुरू हुआ:

“पॉल भोजन कक्ष के माध्यम से चलता है, जहां हर कोई बस अपने कानों पर खड़ा होता है। “अरे! वे चिल्लाए। - फेनमैन - बस सुपर! हम उसे एक कार्य देते हैं जिसे दस सेकंड में तैयार किया जा सकता है, और एक मिनट में वह 10 प्रतिशत की सटीकता के साथ उत्तर देता है। उसे किसी तरह का काम दो! ”लगभग बिना रुके, वह कहता है:“ स्पर्शरेखा 10 वीं से सौवीं डिग्री है। ” मैं फंस गया हूं: इसके लिए आपको एक सौ दशमलव स्थानों तक संख्या पाई से विभाजित करने की आवश्यकता है! यह निराशाजनक था! ”

अनुवादक को दिए गए टुकड़े में गलत किया गया था। पॉल ओलम ने फेनमैन को 10 वीं से सौवीं शक्ति की स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए कहा। और यह रेडियन के बारे में है, डिग्री नहीं। यह इस सूत्र में है कि भविष्य के नोबेल पुरस्कार विजेता के लिए यह कार्य असंभव हो जाता है।

मैंने एक सरल कार्य पर विचार करने का निर्णय लिया। अर्थात्, आप कैसे जानते हैं कि सौ डिग्री में tg (10 °) कितना होगा? इस मुद्दे पर चिंतन एक छोटे कम्प्यूटेशनल प्रयोग के लिए एक प्रेरणा के रूप में कार्य करता है, जिसके परिणाम मैं साझा करना चाहता हूं। और मैंने Google से नामित मूल्य की गणना करने के लिए कहना शुरू किया। जवाब तुरंत दिया गया - 4.2842727e-76।

स्पर्शरेखा कोसाइन द्वारा विभाजित साइन है। इसलिए, मैंने एक सरल समस्या को हल करके अपना शोध शुरू किया। अर्थात्, 10 डिग्री की साइन को कैसे ढूंढें और इसे सौवीं डिग्री तक बढ़ाएं। इसके अलावा, हमें परिणाम की शुद्धता को सत्यापित करने के लिए दो अलग-अलग तरीकों को लागू करने की आवश्यकता है। सभी गणना 1 सी: एंटरप्राइज 8.2 प्लेटफॉर्म पर की गईं। इस प्लेटफ़ॉर्म की एक विशेषता यह है कि गणना परिणामों को पाठ रूप में संग्रहीत किया जाता है, जो दशमलव स्थानों की संख्या के सवाल को हटा देता है और, परिणामस्वरूप, गणना की सटीकता, कम से कम इसके अलावा और गुणन कार्यों के लिए। अब हम गणना के विकल्पों पर निर्णय लेते हैं। सबसे सरल है कि साइन की गणना करें और फिर इसे अपने आप से गुणा करें। डिग्री के बाद से हम एक भी बढ़ाते हैं, हम डबल-कोण कोसाइन सूत्र को याद करते हैं और लिखते हैं:











गणना के दौरान, हमें उपयोग किए गए डेटा की सटीकता को नियंत्रित करने की आवश्यकता है, हम निम्नलिखित समीकरण के मूल के रूप में 20 डिग्री के कोसाइन की तलाश करेंगे:

4 * cos 20 (20 °) -3 * cos (20 °) = 0.5

यह समीकरण ट्रिपल कोण के कोसाइन के लिए सूत्र से प्राप्त किया जाता है। संख्यात्मक रूप से समीकरण को हल करने के लिए, हम न्यूटन विधि का उपयोग करते हैं। भविष्य में, sin² (10 °) का पाया गया मूल्य अपने आप में 49 गुना (आप कर सकते हैं, ज़ाहिर है, गुणन की संख्या को कम करते हैं, यह इस मामले में महत्वपूर्ण नहीं है)।

हम cos (20 °) निर्धारित करने की सटीकता पर गणना की निर्भरता के साथ एक तालिका देते हैं।







प्राप्त परिणामों से, यह देखा जा सकता है कि दशमलव बिंदु के बाद इनपुट डेटा में 4 महत्वपूर्ण अंक होने पर 10% की सटीकता प्राप्त की जाती है।

हमारे शोध कार्यक्रम का अगला बिंदु वांछित कार्य की गणना करने के लिए वैकल्पिक तरीके की खोज है। मैंने साइन की समान डिग्री की गणना की, लेकिन उपयोग किए गए दृष्टिकोण को स्पर्शरेखा पर लागू किया जा सकता है, यह सिर्फ प्रस्तुत सामग्री की मात्रा बढ़ाएगा। फूरियर श्रृंखला में इसके विस्तार के साथ मूल फ़ंक्शन को बदलें। हम निम्नलिखित पहचान का उपयोग कर अपघटन प्राप्त करते हैं:

cos (α) * cos (β) = 0.5 * (cos (α-+) + cos (α +)))

हम इसे लागू करते हैं।

sin (x) * sin² (x) = (0.5-0.5cos (2x)) (0.5-0.5cos (2x))

हम कोष्ठक को दाईं ओर से खोलते हैं और फिर कॉशन के उत्पादों को उनके योग द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं। फिर हम परिणामी राशि को फिर से गुणा करते हैं (0.5-0.5 cos (2x)) फिर से, कोष्ठक खोलें और एक बार फिर राशि द्वारा उत्पाद को बदलने का कार्य करें। बेशक, मैंने 1 सी: एंटरप्राइज़ प्लेटफॉर्म की अंतर्निहित भाषा में एक प्रोग्राम का उपयोग करके वर्णित प्रक्रिया को अंजाम दिया। इन उपायों के परिणामस्वरूप, हमने फ़ंक्शन (2ix) के कार्यों के आधार पर मूल फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त किया, जहां मैं 0 से 25 तक भिन्न होता है। हम बिंदु 10 ° = π / 18 में पाया गया विस्तार की गणना करेंगे। हम दिए गए बिंदु पर आधार फ़ंक्शन के मूल्यों के साथ एक तालिका देते हैं।











180 ° से 340 ° के बीच की सीमा के कोणों के लिए, आधार कार्यों के मान केवल "pi" द्वारा एक बदलाव के कारण केवल दिए गए मानों से भिन्न होंगे। अब जब आधार कार्यों के मूल्य हैं और विस्तार गुणांक हैं, तो एक वैकल्पिक गणना की जा सकती है। लेकिन इस मामले में, स्रोत डेटा की सटीकता अंतिम परिणाम की सटीकता के साथ तुलनीय होनी चाहिए, अर्थात, 10 not से कम नहीं। हालाँकि, यह समझ में आता है। जब हम कुछ मूल्यों को जोड़ते हैं, तो आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए, योग के सदस्यों की गणना अपेक्षित परिणाम से कम नहीं की त्रुटि के साथ की जानी चाहिए। निम्न तालिका इनपुट डेटा की विभिन्न सटीकता के लिए कार्यप्रणाली के अनुसार गणना के परिणाम दिखाती है।







दिए गए नंबर इनपुट डेटा की सटीकता और अंतिम परिणाम के बीच संबंध के बारे में हमारी टिप्पणी के अनुरूप हैं। इसी समय, वे पिछली गणना की विश्वसनीयता की पुष्टि करते हैं।

नीचे प्रसंस्करण फॉर्म की एक छवि है जिसे मैंने अपने शोध में उपयोग किया है







इस रूप में, विशेष रूप से, फ़ंक्शन sin, (x) के फूरियर श्रृंखला में विस्तार का स्पेक्ट्रम दिखाया गया है।

और इसलिए, कंप्यूटर तकनीक की मदद से, जो परमाणु परियोजना के समय से बहुत अधिक सुलभ हो गई है, हमने समस्या को हल कर दिया है। लेकिन क्या यह मन में हल किया जा सकता है, या कम से कम अंतिम परिणाम के लिए आदेश का अनुमान प्राप्त कर सकता है। हम तर्क का एक संभावित अनुक्रम देते हैं।

याद रखें कि sin x (x) की शक्तियों में फ़ंक्शन tg² (x) के विस्तार का रूप है:

tg t (x) = sin² (x) + sin x (x) + sin x (x) + ...

पाप का अनुमान (10 °) पहचान से प्राप्त होता है:

पाप (30 °) = 3 इंच (10 °) -4 इंच (10 °)

यदि हम घन शब्द को छोड़ देते हैं, तो अनुमान 1/6 = 0.166666 होगा, क्योंकि इसे कम करके आंका जाता है, फिर हम 0.17 लेते हैं, और हम 0.03 पर स्पर्शरेखा के वर्ग का अनुमान लगाते हैं। वांछित मान प्राप्त करें और प्राप्त करें

Ln (tgn (10 °) () = 50 * (- 2 * Ln (10) + Ln (3))

Ln (3) = Ln (e * (1 + 0.3 / e)) L1 + Ln (1 + 1/3)) 1.1

उस एलएन (10) ≈ 2.30 को याद करें। तब वांछित मात्रा का प्राकृतिक लघुगणक बराबर होगा

50 * (- 4.6 + 1.1) = - 50 * 3.5 = -2.3 * 50 * 35/23 = 2.3 * 50 * (1 + 12/23) ≈-2.3 * 50 * (1 + 0.5 * (1 + 1/24)) = - 2.3 * 50 * 1.52 = -2.3 * 76।

प्राप्त डिग्री के लिए ई उठाएँ और परिणाम 10 obtained प्राप्त करें।

निष्कर्ष

इस पत्र में, मुझे पॉल ओलम द्वारा प्रस्तुत प्रश्न का उत्तर नहीं मिला। फिर भी, उपरोक्त विश्लेषण, मेरे दृष्टिकोण से, यह एक अच्छा प्रदर्शन है कि कैसे गणितीय उपकरण का उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है जब यह संख्या में आता है। यह मुझे प्रतीत होता है कि प्रस्तुत सामग्री का उपयोग हाई स्कूल में कम्प्यूटेशनल गणित में व्यावहारिक पाठ के लिए आधार के रूप में किया जा सकता है।