जब त्रिकोणमिति की जरूरत नहीं है

कुछ भी आदिम ग्राफिक्स प्रदर्शित करने के लिए अलग कोड के माध्यम से, मैंने त्रिकोणमिति के लिए कुछ प्रोग्रामर्स के अत्यधिक प्यार को देखा। अक्सर कोड साइन, कोसाइन और आर्क स्पर्शों से भरा होता है जहां आप उनके बिना कर सकते हैं। यहां तक ​​कि अच्छे प्रोग्रामर जो एक जटिल प्रणाली को डिजाइन करने में सक्षम हैं, लेकिन किसी कारण से स्कूल कार्यक्रम की मात्रा में वैक्टर में महारत हासिल नहीं की है, यह पाप करते हैं। वस्तुतः, वेक्टर बीजगणित की मूल बातें कई दबाने वाली समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त हैं। इस विषय में, मैं एक छोटे शैक्षिक कार्यक्रम का संचालन करना चाहता हूं, विमान पर वैक्टर के साथ बुनियादी क्रियाओं को याद करता हूं और, उदाहरण के लिए, त्रिकोणमिति के बिना दो समस्याओं को हल करता हूं: घटना किरण और एक मनमाना तैनात दर्पण द्वारा परिलक्षित किरण की खोज, साथ ही एरोहेड ड्राइंग। यदि आप अपने सिर में बिना खानों और कोस के बिना एक मनमाना दिशात्मक तीर खींचने की कल्पना कर सकते हैं, तो इस विषय को छोड़ने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। बाकी के लिए मैं और अधिक सरलता से समझाने की कोशिश करूंगा।

सिद्धांत

तो, एक वेक्टर (हम केवल दो आयामी मामले पर विचार करते हैं) संख्याओं की एक जोड़ी है:



ज्यामितीय अर्थ एक विमान पर एक खंड है जिसके लिए लंबाई और दिशा महत्वपूर्ण है, लेकिन स्थिति महत्वपूर्ण नहीं है। यही है, समानांतर स्थानांतरण वेक्टर को नहीं बदलता है। एक विमान पर एक बिंदु (x, y) के साथ एक वेक्टर की पहचान करना अक्सर उपयोगी होता है - यह एक बिंदु (0,0) से एक बिंदु (x, y) से एक वेक्टर को आकर्षित करने जैसा है। बुनियादी कार्यों पर विचार करें।

वेक्टर जोड़:



ज्यामितीय अर्थ तस्वीर में दिखाया गया है - हम दूसरे वेक्टर को स्थानांतरित करते हैं ताकि इसकी शुरुआत पहले के अंत के साथ मेल खाती है, और परिणाम पहले की शुरुआत से दूसरे के अंत तक वेक्टर है:



एक स्केलर (संख्या) द्वारा एक वेक्टर का गुणन:



ज्यामितीय अर्थ वेक्टर की बढ़ाव संबंधित दिशा (जब तक कि नकारात्मक हो, विपरीत दिशा) के बिना, इसी संख्या के अनुसार होता है । लंबाई में बदलाव के बिना -1 से गुणा करना वेक्टर 180 ° को फ्लिप करेगा। एक वेक्टर को एक से विभाजित करना 1 / a से गुणा है।

वैक्टर के स्केलर उत्पाद:



एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात। दो वैक्टरों को गुणा करते हुए, हमें एक संख्या मिलती है जो एक पर दूसरे के प्रक्षेपण की लंबाई को चिह्नित करती है। दो वैक्टरों को गुणा करके, हम संकेत द्वारा निर्धारित कर सकते हैं कि क्या वैक्टर एक दिशा में निर्देशित हैं (स्केलर उत्पाद सकारात्मक है), विपरीत रूप से निर्देशित (स्केलर उत्पाद नकारात्मक है) या एक दूसरे के लिए लंबवत (उत्पाद शून्य है)। आपको प्रत्येक वेक्टर के समन्वित संबंधों के आर्कतांगों की गणना करने और कोणों की तुलना करने की आवश्यकता नहीं है। दो गुणा, एक जोड़ और एक टोपी में एक चीज।

यह भी महत्वपूर्ण है कि वेक्टर का स्केलर उत्पाद स्वयं इसकी लंबाई (पाइथोगोरियन प्रमेय का परिणाम) का वर्ग है:



एक वेक्टर को सामान्यीकृत या इकाई कहा जाता है यदि इसकी लंबाई एकता के बराबर है। एक मनमाने ढंग से नॉनजरो वेक्टर को सामान्य करने के लिए इसे अपनी लंबाई से विभाजित करना है। यह मूल के साथ गठबंधन एक इकाई वेक्टर में परिणाम होगा।

एक इकाई द्वारा एक मनमाना वेक्टर का स्केलर उत्पाद इस वेक्टर के प्रक्षेपण की सटीक लंबाई को इकाई की दिशा में देगा। न केवल लंबाई, बल्कि प्रोजेक्शन वेक्टर को पाने के लिए, हमें अपनी इकाई वेक्टर द्वारा इस लंबाई को गुणा करना होगा:



कोष्ठक में वैक्टर ई और ई का स्केलर उत्पाद है, और फिर स्केलर द्वारा वेक्टर ई का गुणन।

क्या होगा अगर हमें अनियमित वेक्टर पर एक प्रक्षेपण की आवश्यकता है? सामान्य करने के लिए, आपको जड़ निकालने की जरूरत है, और यह लंबा और दुखद है। हालांकि, अगर हम सूत्र को करीब से देखते हैं, तो हम समझेंगे कि हमें परिणाम को लंबाई के वर्ग द्वारा विभाजित करना होगा, अर्थात, केवल वेक्टर के स्केलर उत्पाद द्वारा। अर्थात्, एक मनमाने ढंग से नॉनजरो b के प्रक्षेपण की गणना निम्नानुसार की जाएगी:



दो यूनिट वैक्टर का स्केलर उत्पाद उनके बीच के कोण का कोसाइन है। अगर अचानक आपको दिशाओं के बीच एक कोण की आवश्यकता होती है, तो जांच करें, हो सकता है कि आपको कोण की आवश्यकता बिल्कुल न हो, लेकिन इसका कोसाइन (या साइन, जो कुछ मामलों में मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान से प्राप्त किया जा सकता है)। फिर आपको आर्कटिक के साथ चारों ओर प्रहार करने की आवश्यकता नहीं है।

वह, वास्तव में, संपूर्ण आधारभूत सिद्धांत है। अब इसे लागू करने का प्रयास करें।

प्रतिबिंबित रे गणना

एक प्रतिबिंबित बीम न केवल ऑप्टिकल कार्यों के लिए उपयोगी हो सकता है, बल्कि यह भी कह सकता है, जब एक दीवार के साथ किसी वस्तु की लोचदार टक्कर का मॉडलिंग करता है, जो कि एनिमेटेड सुंदरियों को प्रोग्रामिंग करते समय अपरिहार्य है। तब वस्तु का वेग वेक्टर प्रतिबिंब के नियम के अनुसार बदल जाएगा। तो, हमारे पास एक गिरती हुई वेक्टर l और कुछ मनमानी सीधी रेखा है जहां से प्रतिबिंब उत्पन्न होता है। एक सीधी रेखा को परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं द्वारा। यह एल के समान लंबाई के प्रतिबिंबित वेक्टर आर को निर्धारित करने के लिए आवश्यक है:



यह जानते हुए कि घटना का कोण प्रतिबिंब के कोण के बराबर है, आप कुछ प्रकार के भोले एल्गोरिथ्म के साथ आ सकते हैं:

• रेखा के बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर की गणना करें, उनके रिश्ते का आर्कटिक लें - हम रेखा के ढलान को एक्स अक्ष पर लाते हैं।
• इसी तरह एक्स बीम के लिए घटना बीम का ढलान निर्धारित करें।
• इन कोणों के अंतर की गणना करें, इसे 90 ° से घटाएं - हमें घटना का कोण मिलता है।
• घटना बीम के झुकाव के कोण पर दो बार और 180 डिग्री के कोण को जोड़ें - हम परिलक्षित बीम के झुकाव के कोण को प्राप्त करते हैं।
• घटना बीम की लंबाई की गणना करें और प्रतिबिंबित बीम के झुकाव के कोण के साइन और कोसाइन से गुणा करें - हमें परिणामी वेक्टर मिलता है।

कुल: दो अभिजात वर्ग, साइन, कोसाइन और वर्गमूल।

हालांकि, यदि आप वैक्टर में सोचते हैं, तो एक साधारण ज्यामितीय निर्माण बहुत तेज समाधान देता है:



वेक्टर एल के दो अनुमान सामान्य के साथ शून्य पर हस्ताक्षर करते हैं और साथ ही एक और वेक्टर एल वास्तव में हमें परिणाम देगा:



यदि पहले से ही सामान्यीकृत है, तो विभाजित करना आवश्यक नहीं है। वैसे, मैंने यह नहीं बताया कि इसे कैसे निर्धारित किया जाए। यदि रेखा को दो बिंदुओं (एक्स 1, वाई 1) और (एक्स 2, वाई 2) द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो सामान्य वेक्टर (अप्राकृतिक) आसानी से इस तरह निर्धारित होता है:



कभी-कभी सामान्य संकेत महत्वपूर्ण होता है ताकि यह पता चल सके कि "बाहरी" लाइन किस तरफ है। यह हमारे कार्य में महत्वपूर्ण नहीं है, आप आसानी से इसके बारे में आश्वस्त हो सकते हैं।

वैसे, तीन-आयामी संस्करण में परिलक्षित किरण का प्राप्त सूत्र भी मान्य है, केवल सामान्य पहले से ही विमान के लिए निर्धारित किया जाना चाहिए।

तीर खींचना

तीर (X1, y1) और (x2, y2) के छोर दिए जाएं। हमें अंत में (x2, y2) एक निश्चित आकार का एक टेंडर ड्रा करना होगा। आइए देखें तस्वीर:



यहाँ बिंदु (x2, y2) को P अक्षर से निरूपित किया गया है। खंडों PA और PB को खींचने के लिए बिंदु A और B के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है। हम मान लेते हैं कि हमें एंटीना के h और w के अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ लंबाई दी गई है। एक चौकस पाठक पहले से ही खुद के लिए एक एल्गोरिदम का सुझाव दे सकता है: बिंदु ओ को खोजने के लिए, पी एच से तीर के साथ एक यूनिट वेक्टर द्वारा गुणा किया गया है (ऐसा लगता है कि आप रूट के बिना नहीं कर सकते, लेकिन आपको केवल एक बार इसकी आवश्यकता है!)। और फिर A और B को पहले से परिभाषित किया गया है, O को w और - w से गुणा करने वाले एक सामान्य वेक्टर से। ध्यान दें कि हमने तीर के कोण को कहीं भी निर्धारित नहीं किया है (सामान्य तौर पर, यह w और h के अनुपात का अभिजात वर्ग है), लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है: तीर आसानी से खींचा जाता है और इसी तरह।

निष्कर्ष

सामान्य तौर पर, त्रिकोणमिति इतनी बार नहीं आती है। त्रिकोणमितीय कार्यों के बिना, अपवर्तित किरण की गणना स्नेल के नियम के अनुसार की जाती है। यदि आपको एक निश्चित कोण द्वारा एक जटिल ड्राइंग को घुमाने की आवश्यकता है, तो आपको केवल इसी कोण के साइन और कोसाइन की आवश्यकता है। रोटेशन मैट्रिक्स उनसे बना है, और इसके बदले में सभी बिंदुओं को गुणा किया जाता है। त्रिकोणमिति वास्तव में धीमी है, खासकर जब इसमें बहुत कुछ है। इसलिए, जहां जरूरत नहीं है, वहां इसका इस्तेमाल न करें।