सतत तरंग रूपांतरण

नमस्कार, प्रिय प्रभामंडल।

हाल ही में, लेख ऐसे हब पर दिखाई देने लगे हैं जो किसी तरह सिग्नल और इमेज के विश्लेषण और प्रसंस्करण से संबंधित हैं (उदाहरण के लिए, लगातार छवि सुविधाओं का पता लगाना: SURF विधि , BigObfuscator से एकीकृत छवि प्रतिनिधित्व ), इस संबंध में मैं संक्षेप में इस तरह के विश्लेषण उपकरण को कवर करना चाहूंगा। तरंग परिवर्तन जैसे संकेत।



तरंग विश्लेषण के अर्थ को समझने के लिए, हम काफी दूर से शुरू करेंगे। यह लेख तरंगिका रूपांतरों के गणितीय अर्थ (सरल शब्दों में) का वर्णन करता है, मैं बाद में प्रयोज्यता और इसके असतत संस्करण पर चर्चा करूंगा।



स्पेक्ट्रल विश्लेषण सिग्नल प्रोसेसिंग विधियों में से एक है जो मापा सिग्नल की आवृत्ति घटक को चिह्नित करने की अनुमति देता है।

फूरियर रूपांतरण

वर्णक्रमीय विश्लेषण का मुख्य गणितीय आधार फूरियर रूपांतरण है , जो आवृत्ति क्षेत्र में अपने प्रतिनिधित्व के साथ एक स्थानिक या लौकिक संकेत (या इस संकेत के कुछ मॉडल) को जोड़ता है।

फंक्शन एफ का फूरियर रूपांतरण एक अभिन्न प्रतिनिधित्व है और निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:



लेकिन फूरियर रूपांतरण केवल उस आवृत्ति के बारे में जानकारी देता है जो सिग्नल में मौजूद है और सिग्नल में यह आवृत्ति कितनी देर तक मौजूद है, इसके बारे में कोई जानकारी नहीं देती है।

इस प्रकार, निम्नलिखित स्थिर संकेत के लिए:





फूरियर परिवर्तन का रूप होगा:





और एक गैर-स्थिर संकेत के लिए:



फूरियर परिवर्तन का रूप होगा:



इस प्रकार, दो पूरी तरह से अलग-अलग संकेतों के लिए, हमें लगभग एक ही फूरियर ट्रांसफॉर्म मिलते हैं (दूसरे सिग्नल के लिए फूरियर ट्रांसफॉर्म ग्राफ की चिकनाई इस संकेत में आवृत्ति में अचानक बदलाव के द्वारा बताई गई है, और अलग-अलग आवृत्तियों के आयाम में अंतर इस तथ्य से समझाया गया है कि इन आवृत्तियों को अलग-अलग समय पर विचार करने के लिए कार्य किया जाता है। संकेत खंड)।

इस प्रकार, फूरियर परिवर्तन स्वाभाविक रूप से एक स्थिर संकेत से एक स्थिर संकेत को अलग नहीं कर सकता है, जो कि आपके प्रयोज्यता के लिए एक बड़ी समस्या है।

विंडो फूरियर ट्रांसफॉर्म

एक अन्य वर्णक्रमीय विश्लेषण उपकरण शॉर्ट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म है, जो फूरियर ट्रांसफॉर्म की एक भिन्नता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:



जहां W (Tau-t) कुछ विंडो फ़ंक्शन है।

आमतौर पर, एक गाऊसी, एक हैमिंग विंडो, एक हॉन विंडो या एक कैसर विंडो का उपयोग विंडो फ़ंक्शन के रूप में किया जाता है।



सामान्य रूप से फूरियर रूपांतरण के विपरीत, विंडो फूरियर रूपांतरण, पहले से ही समय, आवृत्ति और आयाम का एक कार्य है। यही है, यह आपको समय में सिग्नल की आवृत्ति (आयाम के साथ) की विशेषता वितरण प्राप्त करने की अनुमति देता है।



निम्नलिखित गैर-स्थिर संकेत पर विचार करें:



यह संकेत हर 250ms में स्थिर है (पहले 250ms लंबे खंड में इसकी आवृत्ति 300Hz है, दूसरे में - 200Hz, तीसरे में - 100Hz और चौथे में - 50Hz)।

विंडो फूरियर रूपांतरण के त्रि-आयामी (समय, आवृत्ति और आयाम) ग्राफ में निम्नलिखित रूप होंगे:



(ग्राफ की समरूपता को इस तथ्य से समझाया गया है कि फूरियर रूपांतरित होती है (विंडो फूरियर रूपांतरण सहित) किसी भी संकेत के लिए सममित हैं)

इस ग्राफ पर, हम चार स्पष्ट मैक्सिमा देख सकते हैं जो सिग्नल में मौजूद आवृत्तियों के अनुरूप हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि, सामान्य फूरियर रूपांतरण के विपरीत, हम समय अक्ष के सापेक्ष आवृत्ति मान प्राप्त करते हैं, अर्थात हम सिग्नल की समय-आवृत्ति विशेषता प्राप्त करते हैं।

लेकिन संकेत के समय-आवृत्ति विशेषता को प्राप्त करने के लिए विंडो फूरियर रूपांतरण का उपयोग करने में मुख्य समस्या तथाकथित हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत है , जो सिग्नल के समय और आवृत्ति मापदंडों के लिए उत्पन्न होती है।

अनिश्चितता का सिद्धांत इस तथ्य पर आधारित है कि किसी निश्चित समय पर सिग्नल में वास्तव में क्या आवृत्ति मौजूद है यह कहना असंभव है (हम केवल एक आवृत्ति रेंज के बारे में बात कर सकते हैं) और यह कहना संभव नहीं है कि एक सिग्नल में कितने सटीक समय पर आवृत्ति मौजूद है (हम केवल एक समय की अवधि के बारे में बात कर सकते हैं) ।

इस संबंध में, एक संकल्प समस्या उत्पन्न होती है। विंडो फूरियर ट्रांसफॉर्म के रिज़ॉल्यूशन को विंडो की चौड़ाई का उपयोग करके समायोजित किया जा सकता है।

विंडो फूरियर एक संकीर्ण खिड़की के साथ एक गाऊसी के रूप में एक पैमाने के साथ बदल जाती है (खिड़की की चौड़ाई के लिए पारस्परिक) 0.01 में निम्न रूप होगा:



जैसा कि देखा जा सकता है, परिणामी फूरियर रूपांतरण में समय के संबंध में अच्छी सटीकता है और आवृत्ति के संबंध में खराब सटीकता है (प्रत्येक अधिकतम एक निश्चित आवृत्ति सीमा पर है)।



0.00001 के पैमाने के साथ गाऊसी के रूप में एक व्यापक खिड़की का उपयोग करते समय, खिड़की का परिवर्तन इस तरह दिखेगा:



यह देखा जा सकता है कि इस मामले में हम आवृत्ति के संबंध में उच्च सटीकता प्राप्त करते हैं, लेकिन साथ ही समय के संबंध में बहुत कम सटीकता।



हम मान सकते हैं कि सामान्य फ़ूरियर ट्रांसफ़ॉर्म एक विंडो फ़ूरियर ट्रांसफ़ॉर्म है जिसकी चौड़ाई चौड़ाई से अनंत तक होती है।

इस प्रकार, खिड़की की चौड़ाई बढ़ाते समय (इसके रिज़ॉल्यूशन को कम करते हुए), हम आवृत्ति के संबंध में सटीकता बढ़ाते हैं और समय के साथ सटीकता में कमी करते हैं।

तब सटीकता के इष्टतम अनुपात को प्राप्त करने के लिए खिड़की की चौड़ाई के मूल्य का चयन करने के लिए क्या? तरंग परिवर्तन इस प्रश्न का उत्तर देता है।

तरंग परिवर्तन

तरंगिका परिवर्तन एक उपकरण के रूप में बनाया गया था जो सिग्नल के समय-आवृत्ति विशेषताओं के निर्माण के लिए हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता समस्या को हल करता है।

वेवलेट सिग्नल ट्रांसफ़ॉर्मेशन f (t) का रूप है:



जहां ताऊ समय की पारी है, एस पैमाना है, और साई * माता की लहर है।



तरंगिका की अवधारणा का अर्थ है एक तरंग जो सिग्नल से होकर गुजरती है और सिग्नल के एकीकरण के दौरान (टॉटोलॉजी के लिए खेद) एक निश्चित स्थान के लिए एक निश्चित चौड़ाई (स्केल) की एक खिड़की है।

मदर वेवलेट एक ऐसा फंक्शन है जो वेवलेट ट्रांसफॉर्मेशन के दौरान उत्पन्न होने वाली सभी विंडो के लिए प्रोटोटाइप है।

समय शिफ्ट सिग्नल के समय घटक के साथ उत्पन्न खिड़कियों की गति को नियंत्रित करता है।

स्केल की अवधारणा खिड़की की चौड़ाई की अवधारणा के विपरीत है। विंडो की चौड़ाई जितनी छोटी होती है, उतना बड़ा स्केल, यानी विंडो सिग्नल के एक छोटे हिस्से को पकड़ती है और सिग्नल को और अधिक विस्तार से एकीकृत किया जाता है।

खिड़की की चौड़ाई जितनी बड़ी होगी, स्केल उतना ही छोटा होता है, यानी विंडो ज्यादातर सिग्नल और सिग्नल को पकड़ लेती है, इसलिए कम "विस्तार में" एकीकृत करती है।



हमें तरंग परिवर्तन प्रक्रिया का वर्णन करें (गॉसियन का उपयोग एक निश्चित निरंतर संकेत के मदर वेवलेट के रूप में किया जाता है) जो एक सामान्यीकृत आयाम (0-1) के साथ एक निश्चित अवधि (0-200ms) के लिए प्रभावी रहा है:

1. अभिन्न की गणना प्रारंभिक परिस्थितियों में ताऊ = 0 और एस = 1 के तहत की जाती है;

a) पैरामीटर ताऊ (i) = ताऊ (i-1) + ई पर्याप्त रूप से छोटी संख्या ई से बढ़ता है और अभिन्न गणना की जाती है। इसे तब तक निष्पादित किया जाता है जब तक कि ताऊ (i) 200ms (सिग्नल के अंत) के बराबर न हो जाए।



2. पैरामीटर एस = 5 बदलता है, ताऊ का मूल्य फिर से संकेत के प्रारंभिक बिंदु पर सेट होता है (ताऊ = 0);

a) पैरामीटर ताऊ (i) = ताऊ (i-1) + ई पर्याप्त रूप से छोटी संख्या ई से बढ़ता है और अभिन्न गणना की जाती है। इसे तब तक निष्पादित किया जाता है जब तक कि ताऊ (i) 200ms (सिग्नल के अंत) के बराबर न हो जाए।



अभिन्न की गणना पैरामीटर S = 20, S = 50, आदि के मानों के लिए की जाती है।

वर्णित प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, हम प्रत्येक पल में प्रत्येक पैमाने के लिए फ़ंक्शन के इंटीग्रल्स के परिकलित मान प्राप्त करते हैं।

इस प्रकार, हम घटकों के साथ संकेत का एक तीन-आयामी प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं: पैमाने, समय और आयाम (गणना अभिन्न के मूल्य)।



निम्नलिखित गैर-स्थिर संकेत पर विचार करें:



इस तरह के एक संकेत के लिए तरंगिका परिवर्तन इस तरह दिखाई देगा:







इस प्रकार, वेवलेट ट्रांसफॉर्म, विंडो फूरियर ट्रांसफॉर्म के विपरीत, जिसमें सभी आवृत्तियों के लिए किसी भी समय एक निरंतर पैमाना होता है, बेहतर समय प्रतिनिधित्व और कम सिग्नल फ्रीक्वेंसी पर खराब आवृत्ति प्रतिनिधित्व और उच्च सिग्नल फ्रीक्वेंसी में खराब समय प्रतिनिधित्व के साथ एक बेहतर आवृत्ति प्रतिनिधित्व होता है। ।

आंकड़े स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि प्राप्त तरंगिका परिवर्तन उच्च स्तरीय मूल्यों (कम आवृत्तियों) के क्षेत्र में समय में अधिक विस्तृत है और कम पैमाने के मूल्यों (उच्च आवृत्तियों) के क्षेत्र में कम विस्तृत है।



यह निम्नानुसार है कि तरंगिका परिवर्तन संकेत के प्राप्त समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व पर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के प्रभाव को कम करना संभव बनाता है। इसके साथ, कम आवृत्तियों का समय के संबंध में अधिक विस्तृत प्रतिनिधित्व होता है, और आवृत्ति के संबंध में उच्चतर।



संदर्भ: वेवलेट-ट्यूटोरियल